Cálculo de la derivada de la función y(x)=x^n

[angel relativamente]

Sabiendo que la definición de derivada es:

$$\displaystyle \frac{dy}{dx}= \lim_{x\to 0}\;\frac{y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x}$$

Vamos a calcular la derivada de la función: $y(x)=x^n$

Aplicando la definición anterior, tenemos que:

$$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\displaystyle \lim _{x\to 0}\; \frac{(x+\Delta x)^n - x^n}{\Delta x}$$

El desarrollo de la serie $(x+\Delta x)^n$ es similar al de $(a+b)^n$ donde:

$$\displaystyle (a+b)^n=a^n + \frac{n}{1!}\cdot a^{n-1} \cdot b + \frac{n(n-1)}{2!} \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + \cdots$$

Por tanto:

$$\displaystyle (x+\Delta x)^n=x^n + \frac{n}{1!}\cdot x^{n-1} \cdot \Delta x + \frac{n(n-1)}{2!} \cdot x^{n-2} \cdot (\Delta x)^2 + \cdots$$

Llevando esta expresión a la definición de derivada, obtenemos:

$$\displaystyle \frac{dy}{dx}= \lim_{x\to 0}\; \frac{\left[{x^n + \frac{n}{1!}\cdot x^{n-1} \cdot \Delta x + \frac{n(n-1)}{2!} \cdot x^{n-2} \cdot (\Delta x)^2 + \cdots}\right]-x^n}{\Delta x}$$

Ahora bien, cuando $\Delta x$ es prácticamente cero, podemos considerar como nulos todos los términos $(\Delta x)^2$ , $(\Delta x)^3$ , etcétera, con lo que se obtiene:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Es decir:

$$\boxed{\boxed{Si\; y(x)=x^n\; , \; entonces \;\; \displaystyle\frac{dy}{dx}=n\cdot x^{n-1}}}$$

Espero no haber cometido errores, pronto habrán más demostraciones

Saludos, gracias por leerme.