¿Qué es y cómo resolver una ecuación?

[angel relativamente]

-ARTÍCULO EN RECONSTRUCCIÓN-
(Este artículo está escrito parcialmente pues estoy reescribiendo algunas partes)

Si has llegado a este artículo probablemente sea porque tienes dificultades a la hora de resolver ecuaciones. El objetivo del artículo será pues servir de guía para que aprendas a resolver las ecuaciones de primer grado, que son las primeras a las que uno se enfrenta. Una vez entendido y practicado esto, te será mucho más fácil enfrentarte a los métodos de resolución de ecuaciones de grado superior.

Si todavía no tienes mucha práctica, y crees saber resolver ecuaciones pero todavía se te atascan algunas porque no tienes seguridad en lo que haces, quizá sea mejor empezar por abandonar las expresiones del tipo "como está sumando pasa restando" o "como está dividiendo pasa multiplicando", que seguro has escuchado más de una vez. Si bien son métodos que funcionan, pueden llevar a equívoco al estudiante. Por ello vamos a ver cuáles son las operaciones permitidas que podemos hacer en una ecuación de primer grado. Pero primero habrá que ver qué son estas ecuaciones:

Una ecuación de primer grado es una igualdad que involucra una variable (generalmente denotada con $x$) que solo puede estar elevada a la primera potencia.

He subrayado la palabra igualdad porque es la clave para resolverlas: una igualdad quiere decir que lo que hay en el miembro izquierdo y en el miembro derecho del signo "=" vale lo mismo. De momento puede parecer todo muy obvio, pero es un error común no tener esto en cuenta.

Entonces, ¿qué operaciones puedo hacer sobre una ecuación? Si pensamos en una ecuación como una balanza en la que cada miembro del igual es un plato con unas pesas encima, el signo "=" nos indicaría que la balanza está equilibrada. Para no desequilibrarla, lo que podemos hacer es añadir o quitar pesas del mismo valor simultáneamente en ambos platos. Por ejemplo, si tengo una ecuación del estilo $3x=6$, puedo añadir una unidad a cada miembro y la ecuación seguiría siendo equivalente: $3x+1=7$, o también puedo multiplicar por 2 ambos miembros y me quedaría $2(3x+1)=14$. Esta será la estrategia que utilizaremos para resolver ecuaciones, y no la de pasar de un lado al otro con "la operación contraria".

A una ecuación le puedo sumar, restar, multiplicar o dividir la cantidad que quiera, siempre que lo haga en ambos miembros del igual.

Como excepción estaría el 0: Podemos sumarlo o restarlo que obviamente no habrá ningún cambio, pero si multiplicamos ambos miembros por cero nos cargamos la ecuación (nos quedaría una obviedad del tipo $0=0$), y dividir por 0 está terminantemente prohibido en cualquier caso.
También podemos sumar y restar la variable $x$, pues aunque no sepamos lo que vale la igualdad se mantendrá. Pero no siempre podemos multiplicar o dividir por $x$, precisamente porque al no saber lo que vale ésta podría valer .

Una vez visto esto vamos a lo que nos interesa: ¿Qué es resolver una ecuación? Pues básicamente es poder dejar en uno de los miembros del igual la $x$ aislada, así en el otro miembro tendremos el valor que tiene la $x$. En una ecuación de primer grado hay un único valor que puede tener la $x$ para que la balanza esté equilibrada. La unicidad no es un capricho, pues si encuentras el valor para la $x$ que verifique la ecuación ya no hay que hacer nada más. Por ejemplo, en la ecuación que he puesto antes $3x=6$ se ve a ojo que $x=2$ verifica la ecuación. Observad que $x=2$ también verifica la ecuación equivalente $2(3x+1)=14$, y no hay por tanto ningún otro valor de la $x$ que la verifique.

Al fin vamos a meternos en materia y vamos a dar una serie de trucos para resolver ecuaciones de primer grado, de cualquier forma en las que nos la presenten.
En primer lugar vamos a considerar ecuaciones en las que no hay ni paréntesis ni fracciones, y puede estar la variable en cualquiera de los dos miembros.

1. Ecuaciones sin paréntesis y sin fracciones

Un ejemplo de una ecuación de este estilo podría ser $3x+2 - 6x = x+4$

• [*=1]Paso 1: Operar en cada miembro. Observamos que en el miembro de la izquierda nos aparece dos veces la $x$, por lo que podemos operar para simplificar. Como $3x-6x=-3x$ la ecuación que nos quedaría es $-3x+2=x+4$. Ahora ya no se puede operar más, puesto que como no sabemos cuánto vale la $x$, no podemos saber aún cuánto vale al sumarle un número por lo que ambos miembros ya estarían simplificados.
  [*=1]Paso 2: Poner las variables en un miembro y los números en el otro. Como en el primer miembro tenemos el término $-3x$, si sumamos $3x$ a toda la ecuación nos desaparecerá la variable de ese miembro. Así, $-3x+2+(3x)=x+4+(3x)$ sería una ecuación equivalente y tras operar nos quedaría $2=4x+4$. Ahora para quitarnos ese $+4$ que acompaña a la $x$ basta restar $4$ a ambos miembros quedando $2+(-4)=4x+4+(-4) \; \Rightarrow -2=4x$. Con esto ya quedaría la variable en un miembro igualada a un número.
  [*=1]Paso 3: Aislar la variable: Lo último que falta hacer es aislar la variable para que quede despejada. En este caso la variable aparece multiplicada por $4$, por tanto solo falta dividir por 4 cada miembro y nos quedaría $\dfrac{-2}{4} = \dfrac{4x}{4} \; \Rightarrow \; \boxed{-\dfrac{1}{2}=x}$. Observad que la variable ya queda aislada y la ecuación estaría resuelta.
  [*=1]Paso 4: Verificar la ecuación: Todo y que el ejercicio ya está resuelto, conviene sustituir y ver que la ecuación se verifica para asegurarnos que lo hemos hecho bien. Basta sustituir en cada uno de los miembros y comprobar que da lo mismo. En efecto:

  $$\text{Primer miembro:}\; \quad 3\cdot \left(-\dfrac 12 \right)+2\underbrace{-6\cdot\left(-\dfrac 12 \right)}_{+3} = -\dfrac 32 + 5 =-\dfrac 32 + \underbrace{\dfrac{10}2}_{+5} =\dfrac 72$$

  $$\text{Segundo miembro:} \; \quad -\dfrac 12 + 4 =-\dfrac 12 + \underbrace{\dfrac 82 }_{+4} = \dfrac 72$$

A continuación dejaré otra ecuación de este estilo para que podáis practicarla, con una pestaña donde está resuelta por pasos en caso de que necesitéis consultarlo.
Ecuación:

$$\sqrt 2 x - 3 + x - 1 = 2 - 5 x$$

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

Observad que aunque aparezcan raíces cuadradas la ecuación sigue siendo de primer grado, ya que la raíz se hace sobre el número que multiplica a la variable. Para resolverla hay que aplicar los 4 pasos igual que antes. Para el paso 1 hay que tener en cuenta una cosa: Del mismo modo que antes teníamos $3x-6x = (3-6)x$, ahora tendremos que $\sqrt 2 x + x = (\sqrt 2 + 1 )x$. Así tras el primer paso nos queda $(\sqrt 2 + 1 )x-4=2 - 5 x$. Para el segundo paso hemos de dejar las variables a un lado y los números al otro. Si sumamos $5 x + 4$ en ambos miembros queda $(\sqrt 2 + 6)x = 6$. Ahora simplemente dividimos ambos miembros por $\sqrt 2 + 6$ y queda $\boxed{x=\dfrac{6}{\sqrt 2 + 6}\approx 0,81}$, que es la solución a la ecuación. Para verificarla podríamos sustituir la aproximación $x\approx 0,81$ sin problema. No obstante, si no disponemos de calculadora y/o nos piden ver que se verifica exactamente, sustituimos la expresión en ambos miembros y comprobamos que es igual. En efecto:

$$\dfrac{6\sqrt 2}{\sqrt 2 + 6} - 4\underbrace{\left(\dfrac{\sqrt 2 +6}{\sqrt 2 + 6} \right)}_1 + \left( \dfrac{6}{\sqrt 2 + 6} \right) = \dfrac{6\sqrt 2 - 4\sqrt 2 - 24 + 6}{\sqrt 2 + 6}= \dfrac{2\sqrt 2 - 18}{\sqrt 2 + 6}$$

$$2\underbrace{\left(\dfrac{\sqrt 2 +6}{\sqrt 2 + 6} \right)}_1-5\left( \dfrac{6}{\sqrt 2 + 6} \right)=\dfrac{2\sqrt 2 + 12 - 30 } {\sqrt 2 + 6 } = \dfrac{2\sqrt 2 - 18 } {\sqrt 2 + 6}$$

EJERCICIOS:

$$\dst 5 + 3x - 2x = 7 + 4x - x$$

$$\dst 4(x+5) + 3x=4x -3(x-4)$$

$$\dst 5(x-2) +3(x+2) = 6(x-1)$$

$$\dst 3x-(1-2x)-2x=4-x-(5x-6)$$

$$\dst \frac{6x-1}2 = \frac{x-1}3 + \frac{4x+3}2$$

$$\dst \frac{4-x}5 = 2-\frac{3x-2}{10}$$

$$\dst \frac{3x}2 -2(x-3) - \frac{x-2}4 = 5+x$$

$$\dst \frac{5x-1}2 - \frac{4x+1}3 = \frac{x-1}2 + 4$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$$\dst \frac{3x-2}5 -2(5x-4) - \frac{x+2}4 = \frac{x+3}2 - \frac76$$

[sater]

buenas Ángel, buen artículo (sé que llego tarde) pero es que he visto una incorrección, o eso creo. Al final dices que una ecuación se puede representar en un eje de coordenadas y se le llama función, y en eso no estoy de acuerdo. Sé que sabes la definición de función perfectamente (mil veces mejor que yo en cualquier aspecto) así que como ejemplo una ecuación del tipo x-2=7 no es una función, pues para un único valor de x hay infinitos de y (o f(x)). Otra cosa es que a una función (de x), para ver los puntos de corte (con el eje X) por ejemplo, la iguales a cero y la resuelvas como una ecuación.
un saludo!

[angel relativamente]

Este artículo tiene dos años y medio y llevo tiempo queriendo meterle mano. La idea era buena, el resultado lo mejor que pude en su momento.
El artículo estaba dirigido a estudiantes de la E.S.O., por lo que no fui en absoluto riguroso a sabiendas de que no lo era. Pero sí es cierto que hay cosas (la que me comentas y algunas más) que he de reescribir, así como mejorar la presentación y redacción.

Muchas gracias, y un saludo

[sater]

la verdad he sido demasiado quisquilloso, yo a la edad en la que tu escribiste esto no tenía ni una décima parte de tus conocimientos, y además, no soy el más indicado para hablar de rigurosidad la verdad... xD un saludo Ángel!