No son tan hiper las hiperesferas

[angel relativamente]

Como es bien sabido, el espacio que nos rodea es un espacio tridimensional dotado de una métrica euclídea. Ya sabéis, eso de que la distancia más corta entre dos puntos es la recta que los une. Matemáticamente a un espacio de estas características le decimos $\mathbb{R}^3$ con la métrica (distanca entre dos puntos) $d(x,y)=\dst \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2+ (x_3-y_3)^2 }$. Esto no es difícil de generalizar a dimensión arbitraria. Tomaremos pues $\mathbb{R}^n$ como un espacio $n$ dimensional con la métrica euclídea $d(x,y)=\dst \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} (x_i-y_i)^2 }$. Dentro de este espacio tendremos diversas variedades de dimensión menor o igual que $n$ (planos, rectas, esferas, cubos,...). La esfera de $\mathbb{R}^2$, también llamada circunferencia, y la de $\mathbb{R}^3$ son conocidas. Su definición es simple: Fijado un centro (que por simplicidad tomaremos el origen de coordenadas) y una constante $R$ a la que llamaremos radio, buscamos la superficie tal que la distancia del origen a la superficie sea constante e igual a $R$. En $\mathbb{R}^3$ con la distancia euclídea antes definida obtenemos que esta superficie es $S_2 = \{ (x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3 \; | \; x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = R^2 \}$. Observad que $S_2$ no es un objeto sólido, sino tan solo la superficie que la recubre (el 2 indica la dimensión de la variedad, que será 1 menos que el espacio en el que está). Permitidme generalizar el concepto de volumen como el espacio encerrado por una esfera $S_n$. Así, llamaré volumen de la esfera $S_1$ al área del círculo, que vale $V(S_1)=\pi R^2$, mientras que el volumen de la esfera tridimensional es $V(S_2)=\dfrac 43 \pi R^3$.
Antes de entrar en materia, vamos a jugar a un juego. Supongamos una circunferencia de radio $R=\dfrac 12$, la cual vamos a circunscribir dentro de un cuadrado de lado unidad. El área del círculo es $\dfrac{\pi}{4}$ mientras que el área del cuadrado que la circunscribe vale $1$. Es decir, que de todo el área del cuadrado, la proporción de área que le corresponde al círculo es $\dfrac{\pi}{4}\approx 0.79$. Nos preguntamos si esta proporción se mantiene constante para $\mathbb{R}^3$. Ahora tenemos una esfera de radio $R=\dfrac 12$ de nuevo circunscrita en un cubo de lado unidad. Como el volumen del cubo sigue valiendo uno, la proporción entre el volumen de la esfera y el cubo será igual a $\dfrac{4\pi R^3}{3}=\dfrac{\pi}{6}\approx 0.52$. ¿¡Ha disminuido!? Pues en efecto sí, al aumentar en uno la dimensión ha disminuido la proporción que ocupa una esfera en el cubo unidad. El objetivo de este artículo será ver si esa tendencia es general al aumentar las dimensiones.

Para empezar el estudio necesitaremos la fórmula del volumen de la esfera de $\mathbb{R}^n$, también llamada hiperesfera. Por generalización tenemos que la hiperesfera es $S_{n-1}=\{x\in \mathbb{R}^n \; | \; x_1^2 + \cdots + x_n^2 = R^2 \}$. Ahora bien, por simple análisis dimensional sabemos que $V(S_{n-1} ) = C_n R^n$, donde $C_n$ es una constante a determinar. Sea la región $D=\{ x=(x_1, \cdots, x_n) \in \mathbb{R}^n \; | \; x_1^2 + \cdots + x_n^2 \leq R^2 \}$. Se tiene que

$$V(S_{n-1})=\dst \int \cdots \int_{D} \dd x_1 \cdots \dd x_n = C_n R^n$$

Este volumen podemos pensarlo también como la suma de las infinitas áreas de las cortezas esféricas de radio $r$, con $r\in (0, R)$. Es decir,

$$V(S_{n-1})= \dst \int_0^R A(S_{n-1 , r} ) \dd r$$

Y por el teorema fundamental del cálculo se tiene

$$A(S_{n-1, r})=nC_n r^{n-1}$$

Por tanto la expresión del volumen de la hiperesfera se puede expresar como

$$\dst \int \cdots \int_{D} \dd x_1 \cdots \dd x_n = nC_n \int_0^R r^{n-1} \dd r$$

En realidad, la expresión de la izquierda y la de la derecha son la misma expresada en las coordenadas cartesianas e (hiper)esféricas, respectivamente. Sabemos que el diferencial de volumen en las coordenadas esféricas de $\mathbb{R}^3$ es $\dd x_1 \dd x_2 \dd x_3 = \dd V = r^2 \sin \theta \dd r \dd \theta \dd \phi$. En general, para coordenadas hiperesféricas podemos escribir este diferencial de volumen como $\dd V= \dd x_1 \cdots \dd x_n = r^{n-1} \dd r \dd \Omega_{n-1}$, donde $\Omega_{n-1}$ contiene las $n-1$ variables angulares. Sustituyendo en la relación anterior tenemos

$$\dst \int \cdots \int_{D} r^{n-1} \dd r \dd \Omega_{n-1} = nC_n \int_0^R r^{n-1} \dd r$$

Y por simple comparativa nos queda que

$$\dst \int \cdots \int \dd \Omega_{n-1} = nC_n$$

Si explicitásemos $\Omega_{n-1}$ podríamos calcular $C_n$, pero es una tarea muy tediosa. Para simplificarlo, fijémonos en el siguiente resultado: Si $f(x_1, \cdots , x_n ) = f(r, \Omega_{n-1} )$ es una función expresada en coordenadas cartesianas y esféricas, respectivamente, tenemos que

$$\dst \int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} f(x_1, \cdots , x_n ) \dd x_1 \cdots \dd x_n = \int_0^\infty \int_{\Omega} r^{n-1} f(r,\Omega_{n-1} ) \dd r \dd \Omega_{n-1}$$

Y esto es válido para cualquier función. En particular tomando la función $f(x_1, \cdots , x_n )=e^{-(x_1^2 + \cdots + x_n ^2 ) }=e^{-r^2}$, la cual no depende de variables angulares en coordenadas esféricas, obtenemos

$$\dst \int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x_1^2+ \cdots + x_n^2 )} \dd x_1 \cdots \dd x_n = \int_0^{\infty} r^{n-1} e^{-r^2} \dd r \underbrace{\int_{\Omega} \dd \Omega_{n-1}}_{nC_n}$$

Y como las siguientes integrales valen

$$\dst \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \dd x = \sqrt{\pi }$$

$$\dst \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r^{n-1} \dd r = \dfrac 12 \Gamma\left(\dfrac n2 \right)$$

Siendo $\Gamma(x)$ la función gamma. Basta sustituirlas en la ecuación y obtenemos

$$\dst \pi^{n/2}=\dfrac 12 nC_n \Gamma\left( \dfrac n2 \right) \quad \Rightarrow \quad C_n=\dfrac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(1+\dfrac n2 \right) }$$

Donde hemos utilizado la propiedad de la función Gamma $\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$. Finalmente llegamos a que el volumen de la hiperesfera es

$$\dst \boxed{V(S_{n-1})=\dfrac{\pi^{n/2}R^n}{\Gamma\left(1+\dfrac n2 \right) } }$$

Se deja como ejercicio para el lector sustituir los valores $n=2$ y $n=3$ y comprobar que se obtienen los valores esperados. Podemos evitar trabajar con la función $\Gamma$, ya que los argumentos de la misma solo son valores naturales y seminaturales.
Utilizando las propiedades de la función $\Gamma$ (que no se demostrarán)

$$\Gamma(n+1)=n!, \; \forall n\in \mathbb{N}$$

$$\Gamma \left(\dfrac n2 + 1 \right) = \sqrt{\pi} \dfrac{n!!}{2^{(n+1)/2}}, \forall n\in \mathbb{N} \; \text{impar}$$

Siendo $n!!$ la función doble factorial que para un número impar vale $n!!=1\cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (n-2) \cdot n$. Así, tenemos que el volumen de la hiperesfera vale
Si $n$ es par:

$$\dst V(S_{n-1})=\dfrac{\pi^{n/2}R^n}{(n/2)!}$$

Si $n$ es impar:

$$\dst V(S_{n-1})=\dfrac{\pi^{(n-1)/2} \cdot 2^{(n+1)/2 } R^n}{n!!}$$

El límite de la sucesión $\dst \lim_{n\to \infty} \dfrac{e^n}{n!}=0$. No es difícil demostrarlo, pero se puede intuir viendo que en el numerador se va multiplicando por una constante ($e$) conforme crece la $n$ mientras que en el denominador se va multiplicando cada vez por un número más grande. Del mismo modo, sabiendo que la función Gamma es una generalización de la función discreta factorial, se puede demostrar que $\dst \lim_{x\to \infty} \dfrac{e^x}{\Gamma(x)}=0$. Por tanto se tiene que

$$\dst \lim_{n\to \infty} V(S_{n-1}) = \lim_{n\to \infty} \dfrac{\pi^{n/2}R^n}{\Gamma\left(1+\dfrac n2 \right)}= 0$$

Por sorprendente que parezca, el volumen de las hiperesferas tiende a cero cuando aumentamos la dimensión. Esto se entiende visualmente como que la proporción entre el volumen de la hiperesfera y el volumen del hipercubo que la inscribe es cada vez más pequeña, tal y como mostraba la tendencia para los casos particulares de dimensión 2 y 3. En efecto, dada una esfera de radio $R$, el hipercubo que la inscribe tendrá lado $2R$ y volumen $V(C_{n-1})=2^nR^n$, por lo que el cociente de volúmenes valdrá

$$\dfrac{ V(S_{n-1})}{ V(C_{n-1})}=\dfrac{\pi^{n/2} }{2^n \Gamma\left(1+\dfrac n2 \right)}$$

Que claramente tiende a 0 cuando $n\to \infty$. Además, tiende a cero muy rápidamente. Para $n=6$ este cociente vale $\dfrac{\pi^{3} }{2^6 3! } \approx 0.16$, lo cual quiere decir que la 6-esfera ocupa un $16\%$ del 6-cubo más pequeño que la contiene. Para $n=10$ pasa a ser el $0.2\%$.
Supongo que estaréis pensando que hablar de 10-esferas es una abstracción de matemático. No obstante, en física tiene cierta utilidad. No hace falta irse a teorías de cuerdas ni nada, lo tenemos en la física clásica. En la formulación de la mecánica teórica/lagrangiana se define el llamado espacio de fases, donde dado unas coordenadas generalizadas y sus momentos $(q_i,p_i)$, cada eje será una de estas coordenadas. Es decir, que dado un sistema con N grados de libertad el espacio fásico será (isomorfo a) $\mathbb{R}^{2N}$. ¿Y donde aparecen las hiperesferas? Pues cuando un Hamiltoniano tiene una dependencia cuadrática con las coordenadas y/o momentos generalizados, que ocurre en multitud de sistemas físicos. Os invito a calcular el volumen de una N-esfera en el espacio de fases cuando N sea del orden del número de Avogadro. ¡Suerte!

[sater]

¡Interesantísimo! ¡La de hiperesferas que habrán salido este año en física estadística y ya me has hecho perderles el respeto!

Muy bueno Ángel

[Mossy]

¡Chapó!

[Alriga]

Ángel, hoy he leído este artículo El empaquetamiento de esferas en 8 y 24 dimensiones y me he acordado inmediatamente de tu post, ya sé que no es lo mismo, pero como hay cierta relación, comento por si aún no conocías estos nuevos resultados de empaquetamiento de hiperesferas y te pudiese interesar.
Saludos