Como decía (y dice) un profesor mío del instituto, las matemáticas son la mejor invención del ser humano. Y estoy totalmente de acuerdo: son una de las mejores ideas y de los artificios más ocurrentes y enrevesables (que no enrevesados) que existen. Es tan fuerte el asunto que yo puedo decir, sin temor a equivocarme:


Totalmente antiintuitivo ¿no? Por suerte, una cosa tan (aparentemente) atroz es posible (dependiendo del contexto, claro)

En matemáticas, cuando uno empieza a describir un teorema o una teoría siempre parte de cero, hay que obviar el menor número de cosas posibles. Tanto es así que, en el ejemplo que he puesto, tenemos que especificar todo. Ahora bien ¿qué coño voy a especificar de una miserable suma? Pues hay que dejar claras muchas cosas: qué es sumar, qué es lo que se suma, qué resultado se obtiene después de una suma... Todas estas cosas tan elementales vienen descritas por la teoría de grupos. En nuestro caso, vamos a tratar de definir lo necesario para entender ésto.

Para tener una suma, hemos de tener elementos que sumar: cosas que pertenecen a un conjunto (a una colección de números, que puede ser bien finita o infinita) y que podemos relacionar entre sí con esta operación. Uno de los cuerpos que describe ésto es el grupo. Vamos con un poco de teoría (no os preocupéis: es fácil, ¡y vale la pena echarle un ojo para ver que 2+2=0!). Formalmente, un grupo es lo siguiente:

Sea A un conjunto no vacío (o sea, con elementos), y sea + una operación binaria (es decir, que involucra a dos elementos) en A. Se dice que el conjunto (A, + ) es un grupo si se cumplen estas propiedades:

1. A es cerrado bajo la operación +. Es decir, el resultado de la operación + entre dos elementos cualesquiera de A da como resultado un elemento de A (la suma de dos números da otro número dentro del conjunto). En simbología matemática:


( quiere decir "dentro de" y significa "Para todo")

2. La operación + es asociativa. Es decir, para tres elementos cualesquiera :


Dicho de otro modo: me da igual el orden en el que sume tres elementos.

3. La operación + tiene a 0 como elemento neutro. Es decir, existe un elemento en A que, sumado un elemento cualquiera, el resultado es tal elemento cualquiera (sumar cero, de toda la vida):


4. Existe un elemento simétrico para +. Es decir, a cada número se le puede sumar un elemento simétrico de manera que dé cero (como ejemplo, para el 1 está el -1, de forma que 1 + (-1) = 0):


( significa "existe")

5. Un grupo es abeliano si la operación + es conmutativa, es decir, que el orden de la suma es irrelevante:


Si añadiéramos otra operación a este grupo con una serie de propiedades concretas, tendríamos un anillo. Para el ejemplo puesto, basta con considerar un grupo abeliano, pero la estructura de anillo también sirve para ver que 2+2=0.

NOTA IMPORTANTE: en las definiciones formales hemos puesto + todo el tiempo y en las frases en negrita hablábamos de suma. Es importante que quede claro: la operación puede ser cualquiera siempre y cuando verifique esas propiedades (de hecho, en el enlace del que lo he sacado, la operación se simboliza con una estrella). La notación usada y las aclaraciones en negrita son para facilitar la comprensión de todo esto, pero el concepto es muy general.

A lo que vamos ¿de dónde sale que 2+2=0?. En base a lo dicho, vamos a definir un grupo a partir del siguiente conjunto:


O sea, un conjunto en el que los únicos elementos son el 0, el 1, el 2, y el 3. El grupo (A,+) será tal conjunto con la operación +, definida tal como dictan los puntos anteriores. Ejemplo de las propiedades 5, 3 y 2:

5) 2+1=1+2=3
3) 0+1=1+0=1
2) (2+0)+1=2+(0+1)=3

¿Por qué reservamos la 1 y la 4 para el final? Porque son las interesantes, claro. Fijaros: según 1) la suma de cualquier elemento de A tiene que dar un elemento de A. En el caso


Se cumple. Pero, ¿Y si sumo 2 y 2?


¿Qué es 4? Yo no veo ningún 4 en A...Entonces ¿Qué da al sumar 2+2? Si tenemos que obtener un elemento de A, lo suyo es que, como se nos han acabado los elementos por arriba (más allá del 3), tendremos que volver al inicio, es decir: contar 4 desde el uno y, en el momento que sobrepasemos el 3, volver al principio, al 0: 1=1, 2=2, 3=3, 4=0. Osea que


Curiosamente, aquí también vemos la propiedad 4: para el elemento 2, su simétrico es él mismo: al sumárselo obtenemos el elemento neutro (0).

De la misma manera (para que quede claro cómo estamos sumando en nuestro grupo), si sumamos 3+3:


Contad seis desde el 1 y volviendo al 0 cuando lleguéis al 3, ya veréis cómo sale.

Así que, como veis, las matemáticas son tan flexibles e imaginativas que nos dejan decir 2+2=0 con toda tranquilidad. Eso sí, no lo pongáis en un examen porque os crujirán. O, si lo ponéis, aclarad que estáis trabajando en ese grupo: así no hacéis trampa.