Introducción a la relatividad especial VI.

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Hola a todos!
Veréis que estoy bastante prolífico estos últimos días pero es que quiero aprovechar el puente ya que pronto volveré a estar ocupado y estas tardes lluviosas son perfectas para escribir...

Bien, recuerdo que lo último que vimos fueron las proposiciones de Lorentz y Fitzgerald y su intento teórico para salvar el principio de relatividad galileano. El tema del que trataremos hoy será...los postulados de la relatividad especial de Einstein y sus consecuencias. Empecemos pues...

Albert Einstein abordó el problema del incumplimiento de la relatividad galileana en la electrodinámica de una forma totalmente revolucionaria. Básicamente, podríamos decir que su teoría se estructura a partir de dos criterios:

1º) Recordemos que se había intentado innumerables veces encontrar un sistema de referencia privilegiado, es decir, en reposo absoluto. Todos esos intentos fueron fallidos, lo que llevó a Einstein a afirmar que ese sistema de referencia absoluto, sencillamente, no existía. Esta afirmación, aparentemente inocua, implicaba un cambio de lo que se entendía por sistema de referencia inercial. Por lo tanto, a partir de ese momento, pasó a entenderse como sistema inercial a aquellos sistemas que se mueven unos con respecto a otros con velocidad relativa constante.

2º) Otro problema era la velocidad de la luz. Se había observado que ésta no cambiaba aunque la fuente emisora estuviera en movimiento, como se pudo observar en el experimento de Michelson y Morley. Por lo tanto, la velocidad de la luz es constante aunque la fuente que la emita esté en movimiento.

Todo esto llevó a Einstein a enunciar dos postulados de su teoría de la relatividad especial:

> Primer postulado: todas las leyes físicas se cumplen por igual en todos los sistemas de referencia inerciales.

>Segundo postulado: la velocidad de la luz en el vacío es la misma en todos los sistemas de referencia inerciales y es, además, independiente del movimiento de la fuente emisora y del observador.

En principio, podríamos pensar que estos dos postulados son fáciles de aceptar. Sin embargo, si los aplicamos de forma conjunta se alteran por completo nuestras concepciones absolutas del espacio y del tiempo (!)

Pongamos un ejemplo. Imaginemos,algo que ya hemos hecho tantísimas veces leyendo estos artículos , dos observadores O y O'. El último de los cuales, O', se desplaza con una velocidad constante, v, con respecto del primero. Ahora imaginemos que en el preciso instante en el que O y O' coinciden, sincronizan sus relojes a cero, a la vez que se emite una señal luminosa. Según el primer postulado, cada uno de los observadores verá cómo se propaga la luz en forma de un frente de onda esférico, es decir, el comportamiento de la luz es el mismo en ambos sistemas. Ahora bien, al cabo de cierto tiempo, lógicamente, O y O' estarán separados por una cierta distancia, y...sin embargo, cada uno de ellos se verá en el centro del frente de ondas esférico. ¿CÓMO ES ESTO POSIBLE SI LA ESFERA TIENE UN SÓLO CENTRO? ¡¡¡¡¿¿¿¿CÓMO ES POSIBLE QUE ESTO SEA ASÍ SI LA VELOCIDAD DE LA LUZ ES SEGÚN EL SEGUNDO POSTULADO LA MISMA PARA O Y O'?????!!!!

Parece ser que nos hemos topado con una paradoja sin solución...¿o no? La clave para resolver esta paradoja se encontrará en esas inocentes palabras ''al cabo de cierto tiempo''.

Hablemos de la relatividad del tiempo y del concepto de simultaneidad.
Imaginemos un ejemplo muy sencillo. Dos corredores de atletismo se disponen a competir en una carrera de 100m lisos en dos pistas diferentes. El juez da el pistoletazo de salida justamente a las, no sé, a las 10:00:00 horas,por ejemplo. Al oír el disparo, los jueces auxiliares, situados junto a cada corredor, ponen sus cronómetros en marcha. Cabe destacar que el juez auxiliar del corredor A está en el lado del juez que da el pistoletazo mientras que la pista del corredor B está a 340 m del mismo (ya sé que 340m es una barbaridad, pero imaginénselo ) Pues bien, la carrera acaba con A como vencedor, pero B, todo airado él, presenta una reclamación porque dice que ha hecho un tiempo menor, y lo corrobora con el cronómetro de su juez auxiliar. Entonces, ¿quién lleva razón? Unos minutos para pensar..........................................................................................................

¡EXACTO! el sonido del pistoletazo tarda más en llegar al corredor B que al A, debido a que el sonido se propaga a una velocidad finita, por lo que los relojes de los jueces no estaban sincronizados!Pues algo parecido pasará con la luz,¿no? Pues sí, ya que como hemos visto tiene un valor finito. ¿Qué sacamos en conclusión?

El tiempo es relativo, y el intervalo de tiempo entre dos sucesos depende del sistema de referencia, de modo que:
>Será igual para dos observadores estacionarios uno con respecto al otro si los sucesos ocurren en un mismo punto.
>Será distinto para dos observadores en movimiento relativo uno con respecto al otro.

Y llegamos a las consecuencias de los postulados de Einstein. Veremos dos.
Básicamente se puede decir que el espacio y el tiempo no son realidades absolutas.

>Dilatación del tiempo.
Comprobemos que tiempo no transcurre igual para dos observadores (!) uno en movimiento relativo con respecto al otro. Imaginemos que un observador O' viaja en el interior de una nave espacial (menudo salto hemos dado, desde imaginarnos pelotas rodando a naves espaciales!) que se mueve con una velocidad v con respecto a otro observador O, que consideraremos estacionario. En el suelo de la nave, poned un foco de destellos luminosos que apunte al techo, donde hay un espejo que refleja dichos destellos. Lógicamente las dimensiones de la nave son lo suficientemente grandes como para permitir medir el tiempo que tarde en ir y volver el destello. Como hacíamos con los problemas de relatividad galileana, veamos qué ocurre con el destello para O y para O':

>Para O': si h es la altura de la nave, y c, la velocidad de la luz, el observador del interior de la nave verá que el viaje de ida y vuelta de la luz es vertical y tiempo que medirá será $\dst \Delta t'= \frac{2h}{c}$ Adjunto una imagen, muy muy simple, en Internet hay muchos ejemplos de esto pero yo quiero hacerlo de la forma más simple posible para que lo entendamos todos:




> Para O: el observador O ve que la nave se ha desplazado una distancia, ya que el observador O es el estacionario y la nave se mueve con velocidad relativa v. La trayectoria que describe la luz sería esta: (dibuje un tanto cutre, lo sé :P )




La distancia total recorrida por el destello será $c\Delta t$ Por lo tanto, el pulso recorre una distancia $\dst \frac{c\Delta t}{2}$ hasta el espejo. Este dibujo aclara bastante las ideas y con él realizaremos el análisis:




En el momento en el que el pulso llega al espejo, la nave, como se ve en el dibujo, se ha desplazado una distancia $\dst \frac{v\Delta t}{2}$ por lo que aplicando el teorema de Pitágoras se cumple que:

$\dst (\frac{c\Delta t}{2})^2 = (\frac{v\Delta t}{2})^2 + h^2 \Rightarrow c^2 \Delta t^2 = v^2 \Delta t^2 + 2^2 h^2$. Por lo que:

$\Delta t^2= \dst \frac {v^2}{c^2} \Delta t^2 +\dst \frac {2^2 h^2}{c^2} \Rightarrow \dst \Delta t^2 ( 1 -\dst\frac{v^2}{c^2})= \frac {2^2 h^2}{c^2}$

Si despejamos $\Delta t$ nos queda que:

$\dst \Delta t = \dst \frac{\dst 2h}{c\cdot \sqrt{1-\dst\frac{v^2}{c^2}}}$

y recordemos que para el observador O' $\dst \Delta t' =\dst \frac {2h}{c}$ por lo que podemos constatar que los dos observadores miden tiempo distintos! y que la relación entre ambos tiempos sería:

$\Delta t = \dst \frac{\Delta t'}{\sqrt{1-\dst\frac{v^2}{c^2}}}$

Por otro lado, al término siguiente se le suele designar de un modo especial:
$\frac{\dst 1}{\sqrt{\dst1-\frac{v^2}{c^2}}}= \gamma$

Concluimos: $\Delta t= \gamma \Delta t'$ y esto es lo que se conoce como DILATACIÓN DEL TIEMPO. Veamos un sencillo ejemplo:

''Una nave interestelar parte hacia la estrella Procyon situada a 3.5 pársecs o 11.41 años luz viajando a una velocidad de 0.9 c. Halla el tiempo que tarda en el viaje de ida y vuelta según los relojes terrestres y los relojes de a bordo''.

Bueno, si suponemos despreciables el tiempo que tardará la nave en acelerar y en cambiar de sentido, según los observadores que están en la Tierra, el viaje habrá durado:

$\dst \Delta t= \frac {2d}{v}=\dst \frac{2\cdot11.41\cdot c}{0.9\cdot c}= 25.36$ años.

Sin embargo, el tiempo transcurrido según los relojes de la nave será diferente:

$\dst \Delta t' = \frac {\Delta t}{\gamma}$ y como hemos visto:

$\gamma= \frac{\dst 1}{\sqrt{\dst1-\frac{v^2}{c^2}}}= 2.29$

Por lo que el tiempo transcurrido según los relojes de la nave será:
$\Delta t' = \dst \frac{25.36}{2.29}=11.07$ años.

Observamos que el tiempo transcurrido en la nave es aproximadamente la mitad. Es decir, el tiempo en la nave pasa más lentamente que en la Tierra!!.

Bueno, creo que hemos avanzado muchísimo! Pronto hablaremos de la contracción de la longitud y de la paradoja de los gemelos. Uff, creo que ha sido suficiente,no?

Saludos!

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Entiendo tus ecuaciones pero a qué ejemplo te refieres? si te refieres al que puse para la demostración de la dilatación temporal lo utilicé para mostrar cómo un observador que está fuera de la nave vería el recorrido de luz, ya que la nave se mueve con una velocidad determinada. Por otro lado, en el interior, vería simplemente el recorrido que marqué, y no la especie de triángulo. Ahora bien, en el ejercicio, digámoslo así para no confundirnos la nave hacía ese recorrido, pero no con una velocidad c, sino con una v lógicamente y no 2h sino 2d. Si me planteas el recorrido de la luz si fuera horizontal en lo que respecta al primer ejemplo necesitaría ver un dibujo ya que desde el exterior de la nave, a mí parecer el pulso de luz se vería igual aún así medirían tiempo distintos probablemente.

Ilumíname con un dibujo, por favor jeje

[javier m]

me refiero al primer ejemplo, en el que el rayo de luz dentro de la nave es vertical, y fuera de la nave forma un triangulo. si en ese ejemplo la luz no fuese vertical sino horizontal se presenta que la ecuaciones de tiempo son diferentes a las que pusistes.esa diferencia en la ecuaciones debe ser por la contracción de longitud ¿cierto?, como en tu ejemplo la luz va hacia arriba, y como no hay contraccion hacia arriba, el ejemplo es valido. pero como en mi ejemplo la luz va horizontalmente y sí se produce contraccion horizontalmente entonces mis formulas($\Delta t'={\gamma}^2 \Delta t$)( al considerar las distancias de pared a pared como si siempre fuesen iguales,osea como si estuviaran en reposo un observador con el otro observador), no funcionan.

espero que se halla entendido

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De hecho en el próximo artículo iba a tratar de la contracción de la longitud y de la paradoja de los gemelos
No sé tendría que ver las ecuaciones. La longitud de un objeto medida desde un sistema de referencia con respecto al cual el objeto se mueve resulta contraída en un factor $\dst \frac{1}{\gamma}$ en la dirección del movimiento con relación a su valor propio. Sin embargo, como ya veremos en el próximo artículo, para llegar a la fórmula de la contracción de la longitud que es:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Debemos apoyarnos en la fórmula de la dilatación del tiempo, que es siempre, $\dst \Delta t= \gamma \Delta t'$

Espero que pueda escribir el artículo este fin de semana si no estoy muy liado, así verás cómo se llega a esa expresión. Saludos!