Introducción a la relatividad especial VIII.

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Bueno, bueno, después de una largo tiempo sin escribir, creo que ya es hora. He pensado bastante sobre cómo hacer este artículo, pues, como dije, pretendo que esto sea una introducción a la relatividad especial, accesible a todo el mundo y fácil de entender, por lo que no sabía muy bien cómo enfocar las transformaciones de Lorentz sin una carga matemática importante. Bueno, entemos en tema...

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Después de lo tratado hasta ahora (relatividad galileana y sus transformaciones, experimento de Michelson y Morley, concepto de simultaneidad, proposiciones de Lorentz y Fitzgerald, postulados de la relatividad especial de Einstein y sus consecuencias...) parece claro que las ecuaciones de las transformaciones entre sistemas inerciales, me estoy refiriendo obviamente a las de Galileo, no sirven cuando tratamos fenómenos que ocurren a velocidades comparables a la de la luz, ¿verdad?...Entonces, ¿qué hacesmos? Tranquilos! Lorentz ya resolvió este problema, llegando a varias conclusiones, entre ellas, una especialmente curiosa, aunque ya no nos sorprenderá con todo lo visto hasta ahora. Para Galileo, t=t', pero para Lorentz esto deja de ser una igualdad.

Recordemos la primera paradoja, que dije que no sería la única, de la parte en la que hablábamos sobre los postulados de la relatividad especial de Einstein. Para aquellos que no se acuerden, decíamos lo siguiente:

Pongamos un ejemplo. Imaginemos,algo que ya hemos hecho tantísimas veces leyendo estos artículos , dos observadores O y O'. El último de los cuales, O', se desplaza con una velocidad constante, v, con respecto del primero. Ahora imaginemos que en el preciso instante en el que O y O' coinciden, sincronizan sus relojes a cero, a la vez que se emite una señal luminosa. Según el primer postulado, cada uno de los observadores verá cómo se propaga la luz en forma de un frente de onda esférico, es decir, el comportamiento de la luz es el mismo en ambos sistemas. Ahora bien, al cabo de cierto tiempo, lógicamente, O y O' estarán separados por una cierta distancia, y...sin embargo, cada uno de ellos se verá en el centro del frente de ondas esférico. ¿CÓMO ES ESTO POSIBLE SI LA ESFERA TIENE UN SÓLO CENTRO? ¡¡¡¡¿¿¿¿CÓMO ES POSIBLE QUE ESTO SEA ASÍ SI LA VELOCIDAD DE LA LUZ ES SEGÚN EL SEGUNDO POSTULADO LA MISMA PARA O Y O'?????!!!!

Pues bein, las transformaciones de Lorentz han de permitir que ambos observadores, O y O', tengan razón cuando afirman estar cada uno en el centro del frente de ondas luminoso, ¿verdad?. Observemos el siguiente diagrama, muy esquemático como todos.




Si las coordenadas espacio-temporales de un punto del frente de ondas son, como se observa, (x,y,z,t) para el observador O, y para el observador O', (x',y',z',t'), entonces (refresquemos un poco la memoria y recordemos la ecuación matemática de una esfera) podemos escribir que:

$x^2+y^2+z^2=r^2$
$x'^2+y'^2+z'^2=r'^2$


Teniendo en cuenta la constancia de la velocidad de la luz para ambos observadores, se cumplirá lógicamente que $r=ct$ y $r'=ct'$


Como hemos dicho antes, Lorentz resolvió la paradoja proponiendo estas transformaciones, por lo que las nuevas transformaciones para sistemas interciales deben permitir que se cumplan a la vez las siguientes igualdades:



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$\dst x'^2+y'^2+z'^2=c^2t'^2$


Como hacíamos en el caso de las transformaciones galileanas, si consideramos que el movimiento se da a lo largo del eje X, se cumplirá que y=y' y z=z'. De tal manera obtenemos que:


$\dst x^2-c^2t^2= \dst x'^2-c^2t'^2$[FONT=Arial]
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Esto es lo que me había planteado. Ya que quiero que sea una introducción, me limitaré a poner las nuevas ecuaciones de transformación entre ambos sistemas de referencia inerciales, ya que el desarrolo matemático es complejo y es preferible, en esta introducción, concentrarnos en aspectos básicos de la relatividad restringida y no matemáticos. Por tanto:
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[/FONT]$\dst x'=\gamma (x-vt)$
$y'=y ; z'=z$
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Estas son las llamadas transformaciones de Lorentz que permiten transformar las coordenadas de O en las de O'.

Los resultados de las transformaciones de Lorentz son congruentes con las de Galileo si hacemos que v<<<c. Si lo hiciéramos, obtendríamos evidentemente las transformaciones de Galileo. [FONT=Arial]
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Al igual que hicimos con las de Galileo, una vez que hemos obtenido las transformaciones de Lorentz para obtener las coordenadas de O' conociendo las de O, hallemos las transformaciones de la velocidad.

Para ello, consideremos que un cuerpo que se mueve en la dirección del eje X, como siempre, con una velocidad $v_x$ con respecto al sistema de referencia O. Entonces, ¿cuál será esa velocidad para el sistema de referencia O' si se mueve con una velocidad v con respecto a O? Pues bien, en primer lugar, para el observador O' el cuerpo se ha desplazado una distancia $\Delta x'$ en un tiempo $\delta t'$. Por lo tanto;

$\dst v'_x=\dst\frac{\Delta x'}{\Delta t'}$

Teniendo en cuenta las transformaciones de Lorentz que hemos visto anteriormente, podemos escribir el siguiente cociente:

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Si dividimos los términos del numerador y del denominador entre $\Delta t$ obtendremos:

$\dst v'_x=\dst\frac{v_x-v}{1-\dst\frac{v}{c^2}\cdot v_x}$

Al igual que antes, si hacemos v<<<c la transformación de Lorentz de la velocidad conduce diréctamente a la transformación galileana.


Bueno, ya que tenemos toda la teoría, ¿qué tal si hacemos un poquito de práctica?

Empecemos con uno sencillito. Imaginemos dos cuerpos, A y B, que se alejan de un observador O en el mismo sentido y con una velocidad de 0.7c y 0.4c respectivamente, en relación a O. Podemos plantearnos, ¿cu´ñal es la velocidad de A medida desde B?

En primer lugar, llamemos al sistema de referencial inercial que se mueve con velocidad 0.4c con respecto a O, es decir el cuerpo B, observador O'. Este observador se mueve, como hemos dicho con una velocidad de 0.4c; llamemos a esta velocidad $v$. La velocidad $v_x$ será 0.5c, que es la velocidad de cuerpo A con respecto al observador O. Por lo tanto, podemos conocer la velocidad del cuerpo A medida desde B del siguiente modo. Aplicamos la transformación de Lorentz de la velocidad:

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Este fue sencillo, ¿verdad?

Compliquemos un poquito las cosas, no demasiado, con el siguiente ejemplo.
Imaginemos ahora un móvil, también A, que se desplaza con una velocidad de 0.9c en la dirección positiva del eje X con respecto a un observador O. Otro móvil, B, se desplaza con una velocidad de 0.85c con respecto a A, también en la dirección positiva del eje X. ¿Cuál es entonces la velocidad de B con respecto a O?

A la hora de abordar estos problemas, una parte importante es nombrar bien las velocidades y sistemas de referencia. El móvil A tiene una velocidad de 0.9c con respecto a un observador O y el móvil B de 0.8c con respecto a A, en el mismo eje. ¡Curioso! Os habréis dado cuenta que para saber la velocidad del móvil B con respecto a O tenemos que hacer una transformación que nos permita pasar de un sistema de referencia O' a un sistema de referencia O, ya que la velocidad de B es medida con respecto a A, observador O', desde ahora. ¿Cómo hacemos esto entonces?

Bien, como hemos hecho antes para hallar la transformación de Lorentz para la velocidad, podemos hacer la inversa, es decir, de O' a O.

Las transformaciones de Lorentz inversas para un cambio de coordenadas de O' a O son las siguientes:

$x=\gamma (x'+vt); y=y'; z=z'$
$t=\gamma\dst\big({t'+\dst\frac{v}{c^2}}\cdot x'\big)$

Como hemos hecho antes, $v_x=\dst\frac{\Delta x}{\Delta t}$, por lo que:


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En este caso dividiríamos entre $\Delta t'$ obteniendo:

$\dst v_x=\dst\frac{v'_x+v}{1+\dst\frac{v}{c^2}\cdot v'_x}$

Y esta es la transformación inversa de Lorentz para la velocidad (de O' a O)
Por lo tanto, aplicando esta expresión, podemos conocer la velocidad de B con respecto al observador O:

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Fijemonos que si hiciéramos este proceso mediante transformaciones de Galileo no llegaríamos al mismo resultado, ya que:

$v_x=v'_x+v=1.7c$. Un resultado un tanto extraño, ¿verdad?

Bueno, creo que ya es suficiente por hoy. Estamos a punto de terminar esta parte de introducción a la cinemática relativista. Siendo más concreto, nos queda por ver un par de paradojas asombrosas y empezaríamos ya con los principios de la dinámica relativista, masa y momento relativistas y la masa y energía relativistas. Creo que así daríamos por terminado esta introducción.

Bueno, espero que les haya gustado y pronto escribiré más sobre este fascinante tema. Saludos