Demostración de la ecuación de la fuerza centrípeta o normal

[davinci]

A continuación se demostrará, partiendo de la ecuación fundamental de la Dinámica de Newton, una de las componentes intrínsecas de la aceleración: La aceleración centrípeta o normal. Una vez la hayamos demostrado, sustituiremos dicha aceleración en la fórmula de Newton para obtener nuestro objetivo: Hallar la fuerza centrípeta.

Existen dos caminos para obtener la expresión: Geométrico y analítico. Dado que sería mucho mejor no mostrar solamente uno, se sintetizarán y formaran parte del desarrollo de la fórmula.

Para empezar, daremos como válida la expresión de Newton: F=m a Donde se enuncia que la aceleración de adquiere un cuerpo de masa m, es directamente proporcional a la fuerza que se le imprima. Necesitamos hallar la aceleración centrípeta, una de las componentes de la aceleración.

En la siguiente figura se observa que la velocidad es tangente a la trayectoria del movil. Al tratarse de un vector, puede entenderse que aunque no varíe el módulo, no necesariamente tiene que permanecer constante la velocidad. Al variar la dirección del vector velocidad, podemos considerar una aceleración, a saber, la aceleración centrípeta o normal
que, como vemos, su vector se dirige al centro de la circunferencia.




Consideramos el eje de abscisas (x) y el de ordenadas (y), y extraemos la siguiente ecuación paramétrica, donde R es el radio:




[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] =${ R \cos \omega t}$
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] =${ R \sin \omega t }$

Considerando estas ecuaciones como paramétricas de r, las derivamos pasando por v(velocidad o derivada primera de la posición), hasta llegar a la derivada segunda o aceleración a:

${x}^{,,}= -\omega^2 R \sin \omega t$
${y}^{,,} =-\omega^2 R \cos \omega t$

Por lo que: $a= -{\omega}^{ 2} R \cos \omega t$ o $a= -\omega^2 R \sin \omega t$

Y dado que: $r= R\cos \omega t$ o $r= R \sin \omega t$

En cualquier caso se sustituye y resulta: $a= -{\omega}^{ 2} r$

Dado que la aceleración se dirige al centro de la circunferencia. La r se puede sustituir, dado que se dirige al centro de la circunferencia, por R que representa el radio ( su módulo), . A su vez, $\omega^2$representa la velocidad angular al cuadrado, es decir:

${\omega}^{2 } = \frac{v^2}{ R^2 }$

Sustituimos y despejamos el radio al cuadrado. De esto resulta:

$a=\frac{{v}^{2 }}{R }$ Esta ecuación es el módulo de la aceleración centrípeta o normal, que se define como una de las dos componentes intrínsecas (connatural) de la aceleración, la otra es la aceleración tangencial. Se considera una aceleración porque varía la dirección del vector velocidad. Una vez obtenemos la aceleración centrípeta, esta se sustituye en la fórmula fundamental de la Dinámica de Newton:

F=ma_c ; F=$\frac{m{v}^{ 2}}{ R}$

Este es un camino que se puede seguir para sacar la fórmula empleando los conocimientos de cinemática y dinámica. Cualquier problema no dudeis en comentarlo