Introducción a la Loop Quantum Gravity II

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GR en términos de conexiones:

LQG usa una conexión SU(2) para formular la RG clásicamente. Para cuantizar la teoría partimos de la acción de Holst (esta es una acción a primer orden (en términos de una conexión de espín relacionada con la tétrada) que incluye un término (termino de Holst) que modifica la acción de Palatini). En la acción de Holst se introduce un término que contiene un parámetro libre conocido como parámetro de Barbero-Immirzi (BIp $\gamma$). Se puede demostrar que esta acción, despues de una transformación canónica, coincide con la acción ADM (que es la versión 3+1) de la acción de Einstein-Hilbert.

Actualmente el BIp se considera un parámetro real, y se puede demostrar que las variables canónicas son una conexión SU(2), A, y su momento canónicamente conjugado, E.

$\{A_a^i(x),E_j^b(y)\}=8\pi\gamma G \delta_a^b\delta_i^j\delta(x,y)$

Tanto A como E toman valores en una hoja tridimensional, una hoja de la foliación que comentabamos en el post anterior, $\Sigma$.

Los índices a,b,c... =1,2,3 y son las coordenadas en la hoja tridimensional espacial.
Los índices i,j,k,... =1,2,3 son índices internos en el algebra su(2)

Como hemos comentado, el Hamiltoniano completo de RG es una combinación de ligaduras (objetos que se anulan sobre las soluciones de la teoría). Dichas ligaduras escritas en estas variables son:

$G_i=D_aE^a_i$ Esta ligadura no es más que la derivada covariante (construida con la conexión A) sobre la variable E. Su forma es análoga a la ley de Gauss de las teorías gauge y precisamente es la que genera las transformaciones gauge SU(2) en el espacio de fases.

$C_a=E^b_iF^i_{ba}$ Esta ligadura depende de la curvatura F de la conexión A. Genera las transformaciones inducidas en el espacio de fases, descrito por el par canónicamente conjugado (A,E), por los difeomorfismos sobre $\Sigma$.

$H=\frac{1}{2}\epsilon^{ij}_k\frac{E_i^aE_j^b}{\sqrt{E}}F^k_{ab}-(1+\gamma)^2\frac{E_i^aE_j^b}{\sqrt{E}}K^i_{[a}K_{b]}^j$

Esta es la ligadura Hamiltoniana donde aparece K, que es un objeto relacionado con la segunda forma fundamental de $\Sigma$. Esta ligadura genera las transformaciones inducidas en el espacio de fases por las deformaciones de la hipersuperficie $\Sigma$ (en realidad son las deformaciones del embedding de dicha superficie en el espaciotiempo total) en la dirección temporal elegida en la descomposición inicial del espaciotiempo.

Significado de las variables:

La conexión se puede escribir como:

$A_a^i=\Gamma_A^i+\gamma K_a^i$

Es decir, está compuesta de una conexión $\Gamma$ que nos dice como varía la orientación de las tétradas punto a punto, y de K, que nos dice como está curvada la variedad donde se define la conexión respecto del espaciotiempo total. $\Gamma$ es una conexión y K es un vector, así que su combinación se transforma como una conexión bajo transformaciones SU(2).

El momento canónicamente conjugado contiene toda la información geométrica de la hoja espacial empleada. El producto de dos de esos bichos nos da la métrica espacial de la hoja así como su determinante, que son dos ingredientes básicos para construir observables geométricos como áreas o volúmenes:

$E_i^aE_j^b\delta^{ij}=|q|q^{ab}$

Seguiremos en breve con la representación que se elige cuánticamente para construir el $\mathcal{H}_{kin}$