Representación cinemática.

Variables elementales

Vamos a presentar las variables elementales para la cuantización en LQG. Estas variables se escogen sobre la base de un criterio.

Sus transformaciones bajo SU(2) y bajo difeomorfismos espaciales son fáciles de deducir. En este primer post sobre el tema no entraremos en detalles, pero se ha de tener en mente que sus propiedades de transformación bajo esos dos grupos son las guías que las hacen adecuadas para afrontar la cuantización deseada.

Que dichas variables tengan un comportamiento bien conocido frente a esos dos grupos de transformaciones es un requerimiento inevitable ya que queremos encontrar estados que sean solución a una ligadura que implementa las transformaciones gauge SU(2), la ley de Gauss, y a una ligadura que implementa las trasnformaciones bajo difeomorfismos en .

La elección es la siguiente:

Para la conexión A elegimos su holonomía. Describiremos tal objeto más tarde pero por el momento basta con decir que es la integral de la conexión a lo largo de una curva cerrada embebida en la variedad .

La holonomía toma la forma:



Se puede demostrar que las holonomías verifican la ley de grupo de SU(2), así que las consideraremos, hablando malamente, como elementos de dicho grupo. Por lo tanto, lo adecuado es calcularlas en una representación irreducible del mismo. Como es bien conocido de la teoría de espín, las representaciones irreducibles del grupo SU(2) vienen etiquetadas por j que toma valores semienteros.

Con mayor generalidad, elegiremos como variables elementales funcionales de dichas holonomías calculadas sobre un número finito de caminos , donde i=1,...,n.



Estas funciones de denominan cilíndricas y en contra de lo usual en una teoría física, donde las funciones pueden tomar valores en toda la variedad de definición, estas sólo sondean el espacio en líneas unidimensionales cerradas, estas se suelen denominar loops y de ahí el Loop en el nombre de LQG.

Para el momento canónicamente conjugado E tenemos que se puede definir de manera natural su flujo a través de una superficie S en . Esto es natural ya que E se puede expresar como una 2-forma en la variedad espacial elegida.



donde g es una función, denominada de smearing, que toma valores en el dual del algebra de su(2). *E es una 2-forma que se puede calcular dado un E como:



Para cuantizar la teoría en base a holonomías (funciones cilíndricas) y flujos, debemos de encontrar una representación de la siguientes relaciones algebraicas sobre un espacio de Hilbert. Esto significa que hemos de convertir las relaciones algebraicas presentadas a continuación en conmutadores cuánticos y determinar como actúan sobre los estados de un determinado espacio de Hilbert cuyas funciones de onda o estados dependerán a su vez en parte de estas variables elementales, bien funciones cilíndricas o bien flujos.

Esto no es extraño, recordemos que en cuántica elemental lo que tenemos es una teoría clásica dada en términos de x’s y de p’s. Luego encontramos las funciones de esos objetos que están definidas a nivel clásico. Encontramos los paréntesis de Poisson (relaciones algebraicas) que verifican estas funciones elementales y procedemos a su cuantización y vemos como actúan sobre funciones de onda que a su vez pueden depender o bien de x’s o bien de p’s.

Las relaciones algebraicas que nos interesan son:

(1)
(2)

donde es una derivación sobre el espacio de funciones cilíndricas.

(3)

Además se tiene que verficar que la funciones elementales tienen el siguiente comportamiento bajo conjugación compleja:

y

El conmutador (2) viene del paréntesis de Poisson entre A y E. Y luego (3) nos indica que dos flujos no conmutan, sin embargo esto es esencial para que el álgebra entre flujos y holonomías (funciones cilíndricas) formen un algebra de Lie cuya teoría de representación es bien conocida en términos de operadores sobre espacios de Hilbert.

Siguiendo este procedimiento somos capaces de llegar a definir el espacio de Hilbert cinemático, es decir, ese sobre el que, en principio, tenemos que elegir los estados físicos de la teoría al imponer los operadores correspondientes a las ligaduras.

Seguirmos más adelante describiendo el espacio de Hilbert cinemático introduciendo los spin networks.

Actuación del flujo:

Como hemos dicho la densidad tríada E induce una 2-forma con valores en el álgebra de SU(2). La cantidad que hemos elegido como variable elemental (función elemental) es su flujo a través de una superficie.

La actuación del operador asociado a esta variable elemental se puede definir como sigue.

1.- Dispongamos de una superficie S y de una función en la superficie denotada por r. Por tanto el flujo será: .

2.- Supongamos que tenemos un camino e que interseca la superficie S transversalmente. Esto hace que sea posible definir dos subcaminos y , considerando como punto inicial (final) el punto de intersección con la superficie (además consideramos que la superficie tiene una determinada orientación.

La acción sobre un camino donde es entrante al punto de intersección y es saliente es:



Por supuesto las holonomías dependen de A, y son los generadores de SU(2).

En el caso contrario, con la orientación opuesta:



Si el camino e está contenido en la superficie el resultado es nulo.

Este resultado es natural en el sentido de que los flujos están asociados a derivaciones como ha sido anteriormente comentado, así que podemos escribir de manera compacta:



Se sobreentiende el criterio de Einstein en esta expresión. El punto importante aquí es que hemos introducido la siguiente notación . Esto es porque las holonomías en este caso se pueden considerar como elementos del grupo SU(2) y para hacer cálculos hemos de referirnos a representaciones irreducibles del mismo. Recordemos que las irreps de SU(2) vienen etiquetadas por j’s que toman valores semienteros, estas son conocidas como números de espín ya que en teoría de espín justamente estos valores son los que nos dan los posibles espines de las partículas bajo consideración.