Espacio de Hilbert cinemático:

Ahora que hemos descrito los operadores fundamentales a través de una cuantización de las variables elementales hemos de dar un espacio de Hilbert sobre el que actúan. Evidentemente este espacio es el que contiene los estados dados por holonomías sobre caminos cerrados. Sin embargo, para poder dar una base en este espacio hemos de trasladarnos a definir los spin networks.

Un espín network consiste en lo siguiente:

1.- Tenemos un grafo . Un grafo es una conexión de líneas, lados, unidos en vértices. El número de lados se considera finito pero arbitrario en principio. Este grafo, en la formulación estándar está embebido en . Por lo tanto, LQG no es totalmente independiente de la estructura clásica subyacente, si bien no hay dependencia en la estructura métrica, la variedad subyacente permanece. Esto complica mucho la discusión sobre la viabilidad de las transiciones topológicas en la teoría.

Actualmente hay formulaciones sobre grafos abstractos, no embebidos en ninguna variedad, que son prometedores. El trabajo entonces es como decidir a qué variedad corresponde un determinado grafo, este es un campo abierto de investigación, fundamentalmente matemático y poco dependiente de los detalles de la teoría.

2.- Los lados del grafo vienen etiquetados por representaciones irreducibles de SU(2). Es decir, cada lado lleva una etiqueta j= 1/2, 1, 3/2, 2,...

3.- En cada vértice tenemos elementos del dual del producto tensorial de todas las representaciones que llegan o salen a un determinado vértice. Básicamente esto exige que las representaciones de cada lado que entra o sale del vértices sean consistentes con las leyes de composición de representaciones. El caso análogo y bien conocido en teoría cuántica elemental es el del empleo de los coeficientes de Clebsch-Gordan en la composición de momentos angulares o espines.



Sobre cada lado del spin network calculamos la holonomía de la conexión en la irrep indicada por la j que porta el lado.

Se puede demostrar que cualquier función cilíndrica se puede escribir como una combinación lineal de spin networks. Dicha combinación lineal no ha de ser finita.

Denotaremos los spin networks por: . Indicando, que trabajamos sobre un determinado grafo, con una determinada asignación de etiquetas j que son las que nos dicen en que representación hemos de calcular la holonomía de la conexión asociada a cada lado.

Una vez que hemos definido nuestros estados, (una base en el espacio de Hilbert cinemático), hemos de proveernos de un producto interno para poder hablar propiamente de un espacio de Hilbert.

Un primer paso para definir el producto interno es dar cuenta de una medida en el espacio de funciones cilíndricas Cyl.

Dado una función cilíndrica (o spin network) (omitimos el resto de etiquetas), podemos definir una medida , medida de Ashtekar-Lewandowski, tal que:



El punto clave es que dh es la medida invariante de Haar de SU(2). Esta medida está normalizada y es positiva.

Por lo tanto podemos definir el producto interno de dos spin networks:

en el caso

En caso de que los grafos no coincidan el producto escalar se anula y por tanto dos spin networks con grafos no coincidentes son ortogonales.

Esto supone un “problema” en este contexto, ya que si estamos hablando en términos de una teoría invariante bajo difeomorfismos, cualquier difeomorfismo aplicado a un grafo lo “desplazará” de forma que su producto interno con el original sea nulo. Esto hace que tenemos una infinidad de elementos en la base (no contable) y por tanto el espacio de Hilbert cinemático es no separable. Teniendo en cuenta que muchos de los teoremas sobre operadores, hermiticidad, espectros, etc están dados en términos de un espacio de Hilbert separable esto puede ocasionar o parecer un problema. Más adelante mostraremos como se puede solventar este problema de una manera límpia y elegante.

Al fin tenemos que una representación de las relaciones algebraicas (1,2,3) puede ser determinada en términos de los spin networks del siguiente modo:

Los funcionales cilíndricos se verán representados por operadores de multiplicación. Y los flujos por derivaciones como ya habíamos anticipado anteriormente.

Estas definiciones, junto a la definición de producto interno, no necesitan de ninguna estructura métrica prefijada, por lo tanto la covariancia bajo la actuación de los difeomorfismos espaciales en está asegurada.

Además nos encontramos con una agradable sorpresa, y realmente inesperada. Dentro del espacio de Hilbert cinemático existe un estado que también es invariante bajo dichos difeomorfismos. Este estado es el spin network vacío, es decir, el que no contiene ni lados ni vértices.

Se puede mostrar que cualquier estado en el espacio de Hilbert cinemático puede ser aproximado por combinaciones lineales de productos de los operadores básicos actuándo sobre este spin network vacío. (Esto es análogo al caso del oscilador armónico o a QFT usual, uno distingue un estado que es invariante Lorentz. Este estado representa el vacío, y cualquier otro estado se puede entender como la actuación de operadores de creacción sobre el vacío. Evidentemente la analogía sólo es formal, pero haberla hayla.)

Esto, que ha sido explicado en términos pedestres, en realidad tiene una justificación matemática muy potente. El espacio de funciones cilíndricas conforma una C*-álgebra. En dicha álgebra identificamos un estado denominado estado cíclico y llegamos a la construcción del espacio de Hilbert cinemático a través de la construcción GNS. (Volveremos a este punto en algún momento).

Como bunus extra tenemos los siguientes hechos:

Los difeomorfismos de la hipervariedad espacial actúan como operadores unitarios sobre el espacio de Hilbert cinemático. La única pega es que sólo es posible considerar transformaciones finitas y no infintesimales ya que los generadores de las transformaciones unitarias descritas no tienen ningún operador bien definido asociado.

Esto puede parecer un fallo importante, pero teniendo en cuenta que infinitesimalmente exigiriamos que estuviera “muy cerca a la identidad” en un entorno “pequeño” de un punto, podemos entender el por qué esto no tiene sentido. Principalmente porque no es posible determinar pequeño o grande sin una métrica y porque en este contexto no tiene sentido hablar de puntos aislados.

La razón de trabajar con holonomías y no con conexiones directamente, que sería lo lógico, es que no hay operadores asociados a las mismas ni a la curvatura asociada.

Que no haya operador asociado a la conexión no es problemático, porque como hemos visto podemos trabajar con las holonomías y es bien conocido que toda la información contenida en el espacio de conexiones está contenida en el espacio de holonomías.

Sin embargo, la ligadura Hamiltoniana depende de la curvatura de la conexión, así que tendremos que buscarnos la vida para tratar con ella sin tener un operador asociado a nuestra disposición. Pero eso será cuando entremos en el problema de la dinámica.

Para acabar con este punto debemos de introducir un teorema que es esencial y que justifica en cierto sentido la elección que hemos hecho en todo el proceso anterior:

Teorema:

[font=Verdana]Cualquier representación de las relaciones algebraicas (1,2,3) que contienen un vector cíclico invariante bajo difeomorfismos es equivalente la que hemos descrito en el espacio de Hilbert cinemático.[/font]

Este es un teorema de unicidad donde el ingrediente esencial es la invariancia bajo difeomorfismos. Y viene a significar que hagamos lo que hagamos para cuantizar el álgebra de interés en LQG acabaremos con una representación equivalente a la presentada aquí. En este sentido la construcción del espacio de Hilbert cinemático es robusta y única.

Tener un teorema de unicidad de por medio es buena cosa.

Añadido:

El teorema se conoce en la bibliografía por teorema LOST. No tiene nada que ver con la serie, es el nombre de los autores:

Lewandowski
Okolov
Shalmann
Thiemann

Pulsa aquí para ver a los angelitos.