El área como operador geométrico:

En LQG las áreas y los volumenes, definidos en pueden ser cuantizadas sobre los estados del espacio de Hilbert cinemático.

El problema que surge aquí es que en dicho espacio de Hilbert las ligaduras no han sido resueltas y por lo tanto no conocemos los estados físicos (que representarían estados físicamente realizables). Por lo tanto, no sabemos si dichas áreas o volumenes cuantizados son físicamente representativos. Así que cuando se habla de que LQG cuantiza la geometría, es decir, llega a que áreas y volúmenes tienen espectros discretos siempre se habla en términos cinemáticos y por tanto cualquier extrapolación es errónea y delicada.

Esto implica que algunas argumentaciones no tienen sentido:

Decir que LQG cuantiza observables geométricos es fundamentalmente incorrecto. Lo que hay que decir es que en el sector cinemático de la LQG los espectros asociados a los operadores que implementan áreas y volúmenes son discretos. Habrá que esperar a ver si en el espacio físico, una vez que se conozca adecuadamente, esto se mantiene.
Decir que LQG ha muerto porque su discretitud implica rotura de invariancia Lorentz es igualmente equívoco. Dado que no tenemos posibilidad de estudiar dinámica todavía y no sabemos si los espectros de los operadores geométricos son discretos o no en el sector dinámico no podemos decir que se produzcan variaciones de la velocidad de la luz dependientes de la energía de forma que se rompa la invariancia Lorentz.
Afortunadamente hay situaciones donde dichos operadores son observables físicos, por poner un ejemplo el área es un observable con todas las de la ley en el cálculo de la entropía de un agujero negro considerando un horizonte aislado.

Explicaremos todo esto más adelante. Ahora vamos a hacer una breve exposición de la cuantización del área, el volumen lo dejaremos para más adelante. Sólo hemos de comentar que el volumen participa en la definición de la ligadura Hamiltoniana y que por lo tanto es esencial para entender la dinámica de la teoría.

Dispongamos de una superficie S en .

Podemos hacer un pull-back del campo E a dicha superficie obteniendo una 2-forma.

El área de dicha superficie se puede calcular clásicamente como:?


Esta expresión se puede cuantizar ya que conocemos como se cuantiza E. Ahora solo diremos, dejando para más tarde una discusión más pormenorizada, que E está relacionada con el generador del grupo SU(2), por lo tanto |E| está relacionado con su Casimir y es bien conocido de la teoría de momento angular o de espín que sus autovalores son j(j+1), donde j son las etiquetas de las representaciones irreducibles de SU(2).

Para llegar a definir el operador hemos de seguir un procedimiento de regularización para evitar que haya divergencias por algún lado y problemas de ordenamiento en los operadores. El procedimiento está bien definido y al final se llega a un operador autoadjunto bien definido.

La acción de dicho operador area sobre estados con un único lado intersectando la superficie que queremos medir su superficie es la siguiente (recordemos que los estados vienen dados en términos de spin networks, dichos objetos son funcionales de las holonomías de la conexión, de hecho se construyen como las trazas de dichas holonomías en una representación dada. El que se usen trazas es evidente para asegurar invariancia gauge como veremos más adelante.)



Vemos que el espectro es discreto, que depende el parámetro indeterminado de la teoría y que los spin network son estados propios del operador. Más adelante consideraremos situaciones más complicadas.

Se puede comentar que la densidad de autovalores aumenta exponencialmente con el área.

El volumen de una región determinada de también puede ser cuantizado, pero su procedimiento es más delicado. A la fecha no se conoce exactamente su espectro, lo cual sería muy deseable ya que dicho operador forma parte de la definición de operador ligadura Hamiltoniana como veremos. Además existen dos versiones ligeramente distintas de operador volumen, dependiendo de como se considere el espacio tangente a los vértices del grafo que soporta el spin network sobre el que se aplica.

Continuaremos en algún momento con estos operadores.