Introducción a la Loop Quantum Gravity VII

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Estados invariantes bajo difeomorfismos

Para implementar los estados invariantes bajo difeomorfismos deberíamos de cuantizar la ligadura correspondiente $C_a=E^b_iF^i_{ab}$.

Cuantizar dicha ligadura es problemático por varios motivos, el principal de ellos es:

La ligadura depende de la curvatura de la conexión. Pero la curvatura de la conexión no puede ser representada por un operador autoadjunto, matemáticamente hablando el operador curvatura al que se llega no es fuertemente continuo en los difeomorfismos espaciales.


Sin embargo tenemos la suerte de que los difeomorfismos $\phi$ tienen una implementación sobre $\mathcal{H}_{kin}$ como operadores unitarios $U_{\phi}$. Por lo tanto lo que tenemos que buscar son estados que queden invariantes bajo la actuación de dichos operadores unitarios.

La actuación de los operadores unitarios de difeomorfismos, difeomorfismos para acortar a partir de ahora, consiste en mover el grafo subyacente al spin network sobre el que actua:

$U_\phi\psi_\Gamma=\psi_{\phi(\Gamma)}$

Ocurre que el único estado invariante bajo difeomorfismos en el $\mathcal{H}_{gauge}$ es el spin network vacío. Esto implica que $\mathcal{H}_{diff}$ sólo contiene dicho estado. El resto de los estados invariantes vien en el dual de dicho espacio. (Volveremos a esto más adelante)

Para describir este espacio dual hemos de recurrir a un procedimiento que se denomina: promediado en el grupo (group averaging). El funcionamiento es el siguiente:

1.- Dado un estado en $\psi\in\mathcal{H}_{gauge}$ le asignamos un funcional invarante $\Gamma\psi$.

2.- El cálculo se efectua:

$(\Gamma\psi)(\Phi)=(Vol(Diff))^{-1}\int_{Diff}D\phi\langle U_{\phi}\psi|\Phi\rangle_{\mathcal{H}_{kin}}$

Gracias a las propiedades del producto interno definido en el espacio de Hilbert cinemático tratar con esta expresión es fácil, (no debería de serlo porque hacer una integración en el grupo Diff y tener que controlar su volumen no es nada fácil). De hecho la integral se convierte en un sumatorio:

$(\Gamma\psi_{\Gamma})(\Phi)=\sum_{\phi_1\in Diff/Diff_\Gamma}\frac{1}{|GS_\Gamma|}\sum_{\phi_2\in GS_\Gamma}\langle\phi_1*\phi_2*\psi_\Gamma|\psi\rangle$

Para esto hemos de definir:

$Diff_\Gamma$ subgrupo de difeomorfismos que aplican un grafo en si mismo.
$TDiff_\Gamma$ subgrupo de los difeomorfismos que es la identidad en el grafo.
$GS_\Gamma=Diff_\Gamma/TDiff_\Gamma$ grupo de simetrías del grafo.

Además podemos definir un producto interno con lo que llegamos al Hilbert invariante bajo difeomorfismos (también invariante bajo transformaciones gauge por construcción).

Por otro lado el volumen $V_\Sigma$ esta bien definido en $\mathcal{H}_{Diff}$. También se pueden dar operadores para áreas y para volumenes de regiones de $\Sigma$.

Con esto termina la discusión del sector cinemático de LQG.

La idea es empezar a aclarar los conceptos introducidos en esta serie de mensajes, y luego iniciar el estudio del problema de la dinámica en LQG.