Relatividad general en términos de conexiones I

[Entro]

Hacia la formulación Hamiltoniana de GR en término de conexiones.

Como hemos discutido en la entrada LQG II la relatividad general se puede escribir en términos de conexiones.

Vamos a precisar el contenido de esta entrada en dos vía:

1.- En una primera parte haremos una discusión basada en transformaciones canónicas partiendo de la acción de Einstein-Hilbert.

2.- En una segunda tirada lo introduciremos en un lenguaje más formal.


Formulación ADM:

La acción usual en GR viene dada por la acción de Einstein-Hilbert. Esta acción es un funcional de las métricas espaciotemporales $g_{\mu\nu}$:

$S[g_{\mu\nu}]=\frac{1}{2\kappa}\int dx^4\sqrt{-g}R$

$\kappa=\frac{8\pi G}{c^3}=\frac{8\pi\ell^2_P}{\hbar}$
g es el determinante de la métrica.
R es el escalar de Ricci.

Se puede proceder a una formulación Hamiltoniana, explicada de manera excelente en el apéndice B del libro de Wald, empleando la formulación ADM.

La formulación ADM se fundamenta en los siguientes puntos:

1.- El espaciotiempo se puede foliar en términos de superficies tridimensionales $\Sigma$ En este caso asumimos que dicha superficie no tiene fronteras, sólo por simplificar el análisis, en caso de haberlas el procedimiento es similar pero más complicado.

2.- Identificamos la métrica inducida sobre $\Sigma$ denotada por $q_{ab}$, donde a,b,c,...=1,2,3.

3.- Además tenemos un vector $N_a$ denominado vector de desplazamiento y una función escalar N denominada función lapso. El vector desplazamiento es tangente a la superficie $\Sigma$ y la función lapso nos indica como pasar de una hoja de la foliación a la siguiente.

Usando estas cantidades llegamos a la siguiente acción (a partir de una transformación de Legendre):

$S[q_{ab},\pi^{ab},N_a,N]=\frac{1}{2\kappa}\int dt \int_{\Sigma}dx^3[\pi^{ab}\dot{q}_{ab}+2N_b\nabla^{3)}_a(q^{-1/2}\pi^{ab})$[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\pi^{ab}$ momento canónicamente conjugado a la métrica espacial.
$\pi=\pi^{ab}q_{ab}$
$\nabla^{3)}_a$ derivada covariante compatible con la métrica espacial.
q determinante de la métrica.
$R^{3)}$ el tensor de Ricci de la métrica espacial.

El momento canónicamente conjugado está relacionado con la curvatura extrínseca de la hipersuperfice espacial:

$\pi^{ab}=q^{-1/2}(K^{ab}-Kq^{ab})$

donde:

$K=K_{ab}q^{ab}$.

Los vectores desplazamiento y la función lapso en la anterior acción son multiplicadores de Lagrange, notemos que sus derivadas no aparecen en la acción, por lo tanto la variación de la acción en base a dichas variables nos proporciona las siguientes ligaduras:

$C^b(q,\pi)=-2\nabla^{3)}_a(q^{1/2}\pi^{ab})$ ligadura vectorial, tres componentes.
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Ligadura escalar.

Podemos entender la acción como:

$S[q_{ab},\pi^{ab}]=\frac{1}{2\kappa}\int dt\int_\Sigma dx^3 [\pi^{ab}\dot{q}_{ab}-N_bV^b-NH]$

El Hamiltoniano (densidad) total de la teoría será por tanto:

$H_T=N_bV^b+NH$

El único paréntesis de Poisson no trivial es:

$\{\pi^{ab}(x),q_{cd}(y)\}=2\kappa\delta^a_{(c}\delta^b_{d)}\delta(x,y)$.

Continuaremos con la traducción de esta acción al formalismo tríada.