Relatividad general en términos de conexiones II

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Usando las tríadas

Vamos a replantearnos lo anterior usando tríadas, que son las versión tridimensional de las tétradas. Dedicaremos una entrada a estos objetos, por el momento definiremos las tríadas con la expresión (1).

Denominaremos tríada a un conjuto de tres 1-formas definidas en cada punto de $\Sigma$. La métrica sobre esa variedad por lo tanto se podrá expresar como:

$q_{ab}=e^i_ae^j_a\delta_ij$ (1)

Podemos densitizar la tríada para obtener:

$E^a_i:=\frac{1}{2}\epsilon^{abc}_{ijk}e^j_be^k_c$

El producto de estos objetos nos da:

$|q|q^{ab}=E^a_iE^b_j\delta^{ij}$

Con lo cual, dado que obtenemos la métrica (inversa) espacial y su determinante, utilizando los E, podemos calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc.

Además podemos definir un vector (en la hipersuperficie espacial) relacionado con la segunda forma fundamental de $\Sigma$:

$K^i_a:=\frac{1}{\sqrt{det E}}K_{ab}E^b_j\delta^{ij}$.

Por otro lado, no es dificil de calcular que:

$\pi^{ab}\dot{q}_{ab}=2E^a_i\dot{K}^i_a$

Es decir, podemos reespresar el término canónico de la acción ADM en término de E y de K.

Además, podemos reexpresar las ligaduras $C_a$ y $H$ usando E y K.

Pero ocurre que:

1.- E tiene nueve componentes.
2.- La métrica espacial q tiene seis.

Tenemos que eliminar esta redundancia (usualmente la redundancia en los grados de libertad en una teoría son debidos a una determinada libertad gauge).

La redundancia tiene un origen claro:

Podemos elegir, en un mismo punto, distintos sistemas de triadas que se diferencian por una transformación SO(3) (una rotación). Como tenemos tres posibles direcciones de rotación, ahí tenemos los tres grados de libertad espúros. Además esta libertad se puede relacionar con el hecho de que la segunda forma fundamental $K_{ab}$
es simétrica. Por lo tanto tenemos que exigir $K_{[ab]}=0$ que escrita en términos de $(E^a_i,K^i_a)$ quda como:


$G_i=\epsilon_{ijk}E^{aj}K^k_a$

Por lo tanto la acción con estas variables queda:

$S(E,K)=\int dt\int_\Sigma dx^3 [E^a_i\dot{K}^i_a-NbC^b-NH-N^iG_i]$

Donde $N^i$ es un multiplicador de Lagrange que nos asegura la existencia de la ligadura que necesitamos con estas variables para tener los grados de libertad correctos.

El paréntesis de Poisson relevante es:

$\{E^a_j(x),K^i_b(y)\}=\kappa\delta^a_b\delta^i_j\delta(x,y)$

Posteriormente introduciremos la variable de Ashtekar.

teniendo en cuenta la definicion E seria el MOMENTO del campo gravitatorio y K se puede asociar a las posiciones o metricas ? lo digo por la definicio del Hamiltoniano y la accion que das y las relaciones de commutacion

E= momento K= campo gravitatorio

en la formulacion Hamiltoniana

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E codifica la geometría intrínseca de las hojas tridimensionales de la foliación, eso se ve claro al mirar que el producto de dos E da lugar a la métrica intrínseca a la hoja y su determinante.

K está relacionada con la segunda forma fundamental de la hoja, es decir codifica la curvatura extrínseca del embedding de la hoja tridimensional en el espacio tiempo.

En esta formulación, y en relatividad general, el "campo gravitatorio" es la métrica, así que en este caso el "campo gravitatorio" está dado tanto por E como por K.

Así que E sería el momento canónicamente conjugado a la variable de configuración K.