Relatividad general en términos de conexiones III

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Variables de Ashtekar

Se puede demostrar que tanto E como K, que son las variables canónicamente conjugadas presentadas en el anterior post, se transforman vectorialmente bajo SO(3). Por lo tanto podemos considerar que tenemos definido un fibrado principal sobre $\Sigma$ con SO(3) como grupo estructural. Sobre dicho grupo se puede definir una conexión.

Intentaremos encontrar hueco para poner una entrada de divulgación sobre el concepto de conexión en algún momento.

Por tanto se define una conexión so(3) que nos da la derivada covariante compatible con la tríada, lo que quiere decir, que la aplicación de esa derivada a la tríada la aniquila. Recordemos que en RG usualmente se define la derivada covariante con aquella que aniquila la métrica, (compatible con la métrica), dado que las tríadas permiten construir la métrica exigir que la derivada que vamos a definir sea compatible con ellas es totalmente consistente.

La conexión definda es: $\Gamma^i_a$ y se conoce como conexión de espín. Se puede obtener como la solución de la siguiente ecuación:

$\partial_{[a}e^i_{b]}+\epsilon^i_{\phantom{a}jk}\Gamma^j_{[a}e^k_{b]}=0$.

La solución es:

$\Gamma^i_a=-\frac{1}{2}\epsilon^{ij}_{\phantom{a}\phantom{b}k}(\partial_{[a}e^k_{b]}+\delta^{kl}\delta_{ms}e^c_le^m_a\partial_be^s_c)$

Una vez definido este objeto, se puede construir la variable de Ashtekar:

$A^i_a=\Gamma^i_a+\gamma K^i_a$

En esta definición participa un parámetro libre $\gamma$, actualmente se considera que toma valores reales. Este parámetro se conoce como parámetro Barbero-Immirzi.

Claramente la variable de Ashtekar es una conexión ya que la combinación de una conexión como $\Gamma$ y un vector como K (respecto a SO(3)) se transforma como una conexión.

Es de remarcar que A es variable conjugada de E.

${E^a_j(x),A^i_b(y)}=\kappa\gamma\delta^a_b\delta^i_j\delta(x,y)$

Podemos definir la acción y las ligaduras en términos de estas nuevas variables:

$S[E,A]=\frac{1}{\kappa}\int dt \int_\Sigma dx^3 [E^a_i\dot{A}^i_a-N^bC_b-NH-N^iG_i]$

$G_i=D_aE^a_i$

$C_b = E_j^aF_{ab}-(1+\gamma^2)K_a^iG_i$
$H=\frac{E^a_iE^b_j}{\sqrt{det E}}(\epsilon^{ij}_{\phantom{a}\phantom{b}k}F^k_{ab}-2(1+\gamma^2)K^i_{[a}K^j_{b]})$

Transformaciones gauge

Vamos a definir qué transformaciones inducen en el espacio de fases las ligaduras clásicas.

Aquí hemos de introducir una nota explicatoria:

Las ligaduras que hemos introducido que se presentan como la ley de Gauss en la presentación que estamos haciendo de LQG representan una libertad bajo rotaciones como se ha comentado en un post previo. El grupo de rotaciones es el SO(3), sin embargo ahora entenderemos la ligadura como asociada a SU(2). Esto no representa ningún problema ya que el álgebra de ambos grupos es la misma. De hecho, lo que vamos a hacer es trabajar en el grupo recubridor universal de las rotaciones, que es el SU(2). Este hecho nos permitirá en algún punto introducir fermiones en la teoría que han de venir representados por espinores asociados a SU(2). Como generalmente trabajamos a nivel del álgebra esto es perfectamente válido.

Volviendo a la ligadura, vamos a introducir la misma en términos de un smearing (para una introducción pedestre al concepto de smearing pincha aquí), tomando como función de smearing $\alpha_i$ que es una función valuada en el álgebra su(2).

$G(\alpha)=\int_\Sigma dx^3 \alpha^i D_a E^a_i$

Si calculamos las variaciones respecto a la ligadura de la conexión o del momento obtenemos:

$\delta_G A^i_a=\{A,G(\alpha)\}=-D_a\alpha^i$
$\delta_G E^a_i=\{E,G(\alpha)\}=[E,\alpha]_i$

Que son las transformaciones infinitesimales usuales SU(2) en el espacio de fases de una teoría gauge con dicho grupo como grupo gauge.

Las transformaciones finitas toman la forma:

$A'_a= gA_ag^{-1}+g\partial_ag^{-1}$
$E'^{a}=gE^ag^{-1}$

Que son las transformaciones estándar.

En este caso hemos considerado: $A_a=A_a^i\tau_i\in su(2)$ y $E^a=E^a_i\tau^i\in su(2)$. Donde hemos empleado los generadores del grupo.

En caso de la ligadura bajo difeomorfismos, tomando como función de smearing $N^a$:

$C(N^a)=\int_\Sigma dx^3 N^aC_a$

Su acción en las variables canónicas da:

$\delta_C A^i_a=\{A,C(N^a)\}=\mathcal{L}_N A^i_a$
$\delta_C E^a_i=\{E,C(N^a)\}=\mathcal{L}_N E^a_i$

Es decir, la variación inducida por dicha ligadura traslada las variables mediante la derivada de Lie en la dirección del vector desplazamiento, es decir, corresponde con los difeomorfismos de $\Sigma$ como era de esperar.

La actuación de H nos proporciona la evolución temporal de la teoría, pero sus expresiones son muy desagradables y no proporcionan mucha información así que las pondremos en caso de necesitarlas más adelante.