Mis disculpas señor Bohm (IV)

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¿Cómo se llega a la mecánica de Bohm?

Si uno ha leido con atención las partes anteriores se podría preguntar:

¿Pero aquí no se está haciendo uso indiscriminado de ideas de la cuántica estándar?¿Esto no es una amalgama de técnicas?¿No se está usando el postulado de Born?

Bueno, pues para que no quede ese sabor de boca vamos a intentar derivar la mecánica de Bohm de una forma menos ligada a construcciones previas.

Por simplicidad nos centraremos en el caso de un única partícula cuya posición se representará por $q$. Esta partícula ha de tener una velocidad que vendrá dada en términos generales por:

$$\dot{q}=v(q,t)$$

.

Dicha $v$ será un vector en el espacio de configuración.


Exigencias:

1.- Y queremos que este vector sea justamente eso, un vector, es decir que se tiene que transformar apropiadamente bajo rotaciones espaciales. Por tanto, con toda generalidad podemos decir que dicho vector será proporcional al gradiente de una función escalar $\psi$:

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2.- La teoría ha de ser invariante bajo reversión temporal. Para ello se ha de satisfacer que la velocidad cambie de signo cuando cambiamos t por -t.

Si consideramos que $\psi$ es una función compleja para trabajar en el caso más general posible, vamos a imponer que al cambiar t por -t, la función quede conjugada.

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Para asegurarnos del cambio de signo en la velocidad tenemos que quedarnos con la parte imaginaria en la definición anterior:

$v_\psi=Im(\nabla\psi)$

3.- Queremos que nuestra teoría sea invariante Galileo. Así que nuestra velocidad deberá de transformase covariantemente.

Supongamos un boost Galileano: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Por tanto:

$$Im(\nabla\psi)+u=Im(\nabla'\psi')$$

Por lo tanto podemos deducir que bajo una transformación de Galileo la función adquiere una fase del tipo:

$\psi'=e^{iq'\cdot u}\psi$

Con lo cual hemos de permitir que la velocidad se escriba como:

$$v_\psi=C Im(\frac{\nabla\psi}{\psi})(q,t)$$

y la función será con toda generalidad:

$$\psi'=e^{iq'\cdot u/C}\psi$$

para que sea consistente con el requerimiento de covariancia Galileano.

Evidentemente, por simple análisis dimensional C ha de tener dimensiones de L2T-1. Con esto se verifica que la velocidad es una función de $\psi$ que es homogénea de grado cero. ($v_{c\psi}=v_\psi$ donde $c\in\mathbb{C}$).

¿Quién es $\psi$?

Hasta ahora hemos hablado de la función $\psi$ pero no hemos dicho de donde sale o qué la determina.

La cuestión esencial es que hemos requerido para dicha función que al efectuar una reversión temporal tengamos la función compleja conjugada. La ecuación más simple compatible con ese requerimiento es:

$$i\dot{\psi}(q,t)=\beta\nabla^2\psi(q,t)$$

Por otro lado un boost Galileano de velocidad relativa $u$ incorporará el factor $e^{-iq\dot u/2\beta}$:

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Comparando (12) con (14) encontramos que $C=-2\beta$

Recapitulando:

Ahora podemos decir que la mecánica de Bohm para una partícula viene descrita por una ecuación para la posición de la misma:

$$\dot{q}=CIm(\frac{\nabla\psi}{\psi})(q,t)$$

Y para la función:

$$i\dot{\psi}(q,t)=-\frac{C}{2}\nabla^2\psi(q,t)$$

Por selección experimental se llega a que: $C=\frac{\hbar}{2m}$. Y todo queda de maravilla...

La invariancia de Galileana que se le exige a la teoría (así como la invariancia bajo inversión temporal) permiten introducir una función escalar real que dependa de las posiciones y a lo sumo del tiempo:

$$i\dot{\psi}=-\frac{C}{2}\nabla^2\psi+F(q)\psi$$

Una función que cumple todos los requisitos impuestos se puede escribir de la forma:

$$\psi(q,t)=R(q,t)e^{iS(q,t)/\hbar}$$

Donde R y S son funciones reales. Introducimos $\hbar$ para forzar a que S tenga dimensiones de ación.

Con esta función, (15) queda:

$\dot{q}=\frac{C}{\hbar}\nabla S$

Sin lugar a dudas esta ecuación es del tiempo de Hamilton-Jacobi, y por lo tanto $C/\hbar$ tiene que ser igual a $1/m$, donde m es la masa de la partícula.

Introduciendo todos estos datos en (16) obtenemos la ecuación de Schrödinger. Hemos de hace incapié en que aquí se ha llegado a esta ecuación simplemente por imposión de invariancia Galileo e invariancia bajo inversiones temporales. A lo sumo, lo que hemos puesto (sobre la base de las anteriores simetrías) es la forma de la función $\psi$. Pero sin duda esta elección está bien fundamentada, para una discusión de la ecuación de Schrödinger estándar que usa el mismo tipo de función pulsa aquí.

Como la función ha de satisfacer la ecuación (17) se tiene que obtener:

$$i\frac{\partial R}{\partial t}-\frac{1}{\hbar}R\frac{\partial S}{\partial t}=-\frac{C}{2}\left[\nabla^2R+2i\nabla R\cdot\frac{1}{\hbar}\nabla S-R(\frac{1}{\hbar})^2+iR\frac{1}{\hbar}\nabla^2S\right]+FR$$

Tomemos la parte imaginaria:

$$\frac{\partial R}{\partial t}=-\frac{C}{2}\left(2\nabla R\cdot\frac{1}{\hbar}\nabla S+R\frac{1}{\hbar}\nabla^2S\right)$$

Es fácil comprobar que esto es:

$$\frac{\partial R^2}{\partial t}=-\nabla\dot(v_\psi R^2)$$

.

La parte real queda:

$$\frac{\partial S}{\partial t}-\frac{C}{2}\hbar\frac{\nabla^2R}{R}+\hbar F+\frac{1}{2}\frac{\alpha}{\hbar}(\nabla S)^2=0$$

Que es justamente la segunda ecuación de Hamilton-Jacobi si identificamos $C=\hbar/m$, como estabamos preveyendo.

Sin embargo pasa algo raro. Hay un término que no figura en la ecuación de Hamilton-Jacobi clásica:

$$-C\hbar\frac{\nabla^2 R}{2R}$$

.

¿Qué podemos hacer con este término?

Pues lo que se hace usualmente con esos términos, se lo sumamos al potencial. Definiendo el potencial clásico V como $\hbar F$. El potencial total será:

$V-C\hbar\frac{\nabla^2 R}{2R}$

Ese término se denomina potencial cuántico. La presencia de este potencial es una característica intrínseca de la mecánica de Bohm. Es este potencial el que hace que cuando es comparable a V no se sigan las trayectorias Newtonianas... volveremos a esto más tarde.

[PBG]

No eres el único que se ha enamorado de la Mecánica de Bohm. Estoy preparando un trabajo sobre variables ocultas para Mecánica Cuántica, y su descubrimiento ha sido un shock para mí. Supongo que tienes buenas fuentes, pues así lo demuestras en tus claras exposiciones, pero si necesitas alguna más, tal vez puedo ayudarte. También es posible que sea al contrario. Te recomiendo especialmente el capítulo del Holland "The quantum theory of motion: an account of the de Broglie-Bohm Causal Interpretation of Quantum Mechanics" en el que se trata el problema del átomo de Hidrógeno, y como, después de todo, los radios de las órbitas del modelo de Bohr pueden tener algo de realidad.

Un pensamiento: siempre me ha llamado mucho la antención que el modelo de Sommerfeld-Wilson-Ichiwara para el átomo de H predijese "correctamente" las energías que se obtienen resolviendo la Ec. de Dirac, con un aparataje matemático mucho más complejo, y una ontología completamente diferente.

¡Saludos!

[Dj_jara]

mmm... yo tengo una duda, teniendo en cuenta que en esa formulación se fundamenta en $\dot{q}=v(q,t)$ ¿como se introduce el spin? (Vamos la forma de deducir la ecuacióon de Schrodinger conduce a cuando se usa la base posición definida, pero esa base no siempre es completa))

[Entro]

El espín se puede meter, a mano, pero aún no he visto una deducción de la mecánica de Bohm relativista, pero soy neófito en el campo...