Gravedad y teoría gauge

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¿Podemos describir la gravedad por medio de una teoría gauge?

Esta pregunta es problemática porque la respuesta obvia es sí y no...

Una teoría gauge se puede describir, al menos desde el punto de vista clásico, como una teoría que involucra una conexión en un fibrado principal. Generalmente asociamos un fibrado P a la variedad base, el espaciotiempo, M. En dicho fibrado identificamos una conexión que tomamos como objeto dinámico de la teoría. El grupo estructural G del fibrado P se considera el grupo de transformaciones gauge.

Bajo esta perspectiva la gravedad, descrita por relatividad general, es sin duda una teoría gauge. Hemos de recordar que tenemos una conexión (lineal) y que a partir de ella podemos llegar a concer el tensor métrico asociado.

Sin embargo, en cuanto nos paramos a estudiar el sistema nos encontramos con una sutilidad.

En las teorías de tipo Yang-Mills (que describen las teorías gauge para las interacciones no gravitatorias) el grupo de simetrías asociado es el producto semidirecto de Poincaré y del grupo gauge (automorfismos verticales de P). Es decir, que la teoría se exige que sea invariante Poincaré e invariante Gauge al tiempo. (considerando que la variedad base de P es un espacio de Minkowski, en caso de ser otra variedad base tendríamos que cambiar Poincaré por el grupo adecuado, por ejemplo en el caso de AdS).

Ocurre que en el caso de la gravedad el grupo gauge corresponde a la identidad y que el grupo (total) de invariancia es simplemente el grupo de difeomorfismos de la variedad base. Así que en cierto sentido hemos perdido el concepto de grupo gauge en gravedad. Por lo tanto a la anterior pregunta habríamos de responder NO.

¿De dónde viene tal hecho?

El punto clave es la presencia natural de lo que se viene a llamar propiedad "soldering".

En términos de fibrados principales, una forma de soldado (soldering form) sobre un fibrado P de grupo estructural G (con variedad base M, el espaciotiempo) es una 1-forma sobre P que toma valores en una representación lineal del grupo gauge G. Esto significa visualmente que la soldering form asocia el fibrado principal abstracto P (que usualmente se llama el espacio interno, donde operan las transformaciones gauge) al fibrado tangente en M, y este fibrado viene dado de forma natural en una variedad diferenciable. Por tanto, las características gauge (internas) y espaciotemporales (asociadas al espacio tangente) están intimamente ligadas.

En la bibliografía de relatividad general se suele hablar de tetrádas o vielbeins que justamente ligan la métrica del espacio de Minkowski (que sería el espacio interno en un fibrado principal) a la metría espaciotemporal (en M) justamente asociando a cada espacio tangente en cada punto de M con el espacio de Minkowski. Usualmente, se dice que las tétradas convierten índices internos en índices espaciotemporales (forma usual de hablar de los físicos, ¿qué se le va a hacer?).

Así que hablar de teoría gauge de la gravitación es bastante delicado por esta razón. De hecho, una perspectiva que puede ser empleada, y que hasta lo que yo sé no es muy popular, es la denominada teleparallel gravity donde se define la gravedad, no en términos geométricos sino como una teoría gauge usual. El comportamiento de los "sistemas libres" no viene descrito por geodésicas sino por fuerzas tipo Lorentz... quizás sea una vía de escape a este problema.

Para ser un poco más explícitos:

El espaciotiempo es una variedad diferenciable de cuatro dimensiones cuyos puntos, en una carta local, vienen dados por $\{x^\mu\}$. De manera natural se define las coordenadas del espacio tangente a cada punto de la variedad $T_p M$, las coordenadas de dicho espacio vienen denotadas por $\{x^a\}$. Tanto $a$ como $\mu$ toman valores desde 0 hasta 3.

Dada una carta local podemos definir bases locales para los campos vectoriales como: $\partial_\mu$ y sus duales $dx^\mu$ de forma que se cumple: $dx^\mu\partial_\nu=\delta^\mu_\nu$. Analogamente podemos definir esas bases en el espacio tangente simplemente cambiando los índices griegos por indices latinos (a,b,c...).

De igual forma, podríamos elegir una base lineal general en el espacio tangente o en el cotangente, denotando los vectores de dicha base por: $\{e_a,e^a\}$, tales que se cumple: $e^a(e_b)=\delta^a_b$.

Podemos encontrar fácilmente la relación entre las bases presentadas:

$e_a=e^{\phantom{a} \mu}_{a}\partial_\mu$

$e^a=e^a_{\phantom{a}\mu}dx^\mu$.

Podemos emplear transformaciones $GL(4,\mathbb{R})$ para relacionar bases e y e'.


Ahora podemos introducir el concepto de campos tétradas, o simplemente tétradas $\{h_a,h^a\}$. Para ello empleamos que en la variedad espaciotempral tenemos definida una métrica g cuyas componentes en una base natural dual son $g_{\mu \nu}$. De forma que podemos escribir:

$g=g_{\mu \nu}dx^\mu\otimes dx^\nu=g_{\mu \nu}dx^\mu dx^\nu$

Por otro lado podemos emplear una base lineal para relacionar la métrica g con una métrica definida en el espacio tangente, para concretar elegiremos la métrica de Minkowski $\eta$ de forma que: $\eta=\eta_{ab}dx^a dx^b$. Es fácil comprobar lo siguiente:

$\eta_{ab}=g(h_a ,h_b)$

Donde $h_a=h_a^{\phantom{a} \mu}\partial_\mu$.

Por lo tanto:

$\eta_{ab}=g(h_a ,h_b)=g_{\rho \lambda}dx^\rho dx^\lambda h_a^{\phantom{a} \mu}\partial_\mu h_b^{\phantom{a} \nu}\partial_\nu=g_{\rho \lambda}\delta^{\rho}_\mu \delta^{\lambda}_\nu h_a^{\phantom{a} \mu} h_b^{\phantom{a} \nu}=g_{\mu \nu}h_a^{\phantom{a} \mu} h_b^{\phantom{a} \nu}$

Eso quiere decir que las componentes de los campos tétradas convierten indices espaciotemporales en índices internos del espacio tangente.

De hecho podemos entender que el campo tétrada es una aplicación del tipo:

$h:M^4\rightarrow TM$

Donde $M^4$ es el espacio de Minkowski y TM es la unión de todos los espacios tangentes sobre el espaciotiempo M. Por tanto un campo tétrada copia el espacio de Minkowski en cada espacio tangente a la variedad (en todo punto).

Por lo tanto el campo tétrada se puede usar para llevar cualquier objeto en la variedad espacitemporal al tangente en cada punto, por aquello de que transforma los índices espaciotemporales en índices internos.

$K_a=h_a^{\phantom{a} \mu} K_\mu$

Es evidente que podemos transformar los campos tétradas empleando transformaciones de Lorentz. $h^{a'}=\Lambda^{a'}_b h^b$ o en componentes:

$h^{a'}_{\phantom{a} \mu} \Lambda^{a'}_b h^b_{\phantom{a} \mu}$.

Dado que: $g_{\mu \nu}=h^a_{\phantom{a} \mu}h^b_{\phantom{a} \nu}\eta_{ab}$ es fácil comprobar que esto es invariante bajo transformaciones de Lorentz.

Una curiosidad es la siguiente: ¿Qué pasa si llevamos mediante la tétrada una matriz de Lorentz a la variedad espaciotemporal? O de otro modo, ¿qué pasa si escribimos las transformaciones de Lorentz en indices espaciotemporales?

Es directo comprobar lo siguiente:

$\Lambda^{\mu}_\nu=h_{a'}^{\phantom{a} \mu}\Lambda^{a'}_b h^b_{\phantom{a} \nu}=\delta^\mu_\nu$ es decir llegamos a la identidad.[/QUOTE]