La expansión de las aldeas IV

[Jaime Rudas]

La métrica de Fridman-Lemaître-Robertson-Walker está definida según la siguiente fórmula:

$\dd s^2=- \dd t^2+a(t)^2 \left(\dst \frac{\dd r^2}{1-kr^2}+r^2 \dd \theta+r^2 \sin^2\theta \dd \phi^2 \right)$

donde

$s$ es el intervalo espaciotemporal
$t$ es el tiempo
$k$ describe la curvatura y es constante en el tiempo
$a(t)$ es el factor de escala
$r, \phi, \theta$ son las coordenadas esféricas: coordenada radial, colatitud y azimut, respectivamente

Si, para un universo con curvatura nula ($k=0$), queremos averiguar la distancia a la coordenada radial $r$ ($\dd \phi=0, \dd \theta=0$) en un determinado momento $t$ ($\dd t=0$), tenemos:

$\dd s=a(t) \dd r$

Por lo que la distancia radial $D$ es:

$D=a(t)r$

y la velocidad de recesión $V_{rec}$ es la derivada de la distancia:

$V_{rec}=\dot D=\dot ar$
(Un punto sobre una variable indica La derivada con respecto al tiempo).

Adicionalmente, si dividimos la velocidad de recesión entre la distancia, nos resulta el parámetro de Hubble $H(t)$:

$H(t)=\dfrac{V_{rec}}{D}=\dfrac{\dot D}{D}=\dfrac{\dot a}{a}$

Ahora bien, para el planteamiento de la expansión de las aldeas tenemos lo siguiente:

Como coordenada radial $r$ podemos asumir el número de aldea, de tal forma que a la aldea $A_0$ le corresponde la coordenada $r=0$ (el origen de las coordenadas), a la aldea $A_1$, la coordenada $r=1$ y, en general, a la aldea $A_n$ le corresponde la coordenada $r=n$.

De acuerdo con la condiciones establecidas, en un determinado momento $t=t_0=0$ (al que llamaremos momento actual) la distancia entre aldeas era de un kilómetro (1000 metros), o sea, que la distancia $D(t_0)$ del origen a la coordenada $r$ era de $1000r$ (para simplificar la notación, todas las distancias las expresaremos en metros y todos los tiempos en años):

$D(t_0)=a(t_0)r=1000r$

$a(t_0)=1000$

También sabemos que la coordenada $r=1$ se aleja del origen (coordenada $r=0$) a una velocidad de 0,001 metros por año (un milímetro por año), la coordenada $r=2$, a 0,002 metros por año y, en general, la coordenada $r$ se aleja de la coordenada inicial a $0,001r$ metros por año; lo que significa que la velocidad de recesión es igual a $0,001r$:

$V_{rec}=\dot D=\dot ar=0,001r$

$\dot a=0,001$

$a=0,001t+K_a$

Para $t=t_0=0$ tenemos:

$a(t_0)=1000=0,001t+K_a=K_a$

$K_a=1000$

$a=0,001t+1000$

De esta forma, La distancia $D$ a la coordenada $r$ en el momento $t$ es:

$D=ar=(0,001t+1000)r$

Y el parámetro de Hubble resulta:

$H(t)=\dfrac{\dot a}{a}=\dfrac{0,001}{0,001t+1000}$

¿Un modelo así tuvo algún comienzo? O sea, ¿hubo algún momento en que la distancia $D$ entre coordenadas fuera cero? Veamos:

$D=(0,001t+1000)r=0$

$0,001t=-1000$

$t=\dfrac{-1000}{0,001}=-10^6$

Lo que significa que, para este modelo, el inicio es un millón de años antes del momento actual.