Sobre la curvatura del espacio — A. Fridman

[Jaime Rudas]

Este año se cumplen 100 años de la publicación de uno de los artículos más importantes de la cosmología moderna donde, prácticamente, se sientan las bases de esta ciencia. Se trata del artículo de Alexandr Fridman Über die Krümmung des Raumes [Sobre la curvatura del espacio], publicado en 1922 en la, en esa época, muy prestigiosa revista científica Zeitschrift für Physik, como ya lo mencionamos en las entradas Misión imposible y La carta de Fridman.

Dado que no me fue posible encontrar en internet una traducción al castellano del artículo, me di a la tarea de traducirlo, como un pequeño aporte a la conmemoración de tan importante centenario.

Cabe anotar que no traduje directamente del alemán (idioma que desconozco en absoluto), sino que utilicé traducciones del artículo al inglés y al ruso. No obstante lo anterior, traté de mantener lo mejor posible la nomenclatura utilizada en las fórmulas del original publicado en alemán.

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Sobre la curvatura del espacio
Por A. Friedman en Petrogrado
Con una figura. (Recibido el 29 de junio de 1922)

§1. 1. En sus bien conocidos trabajos dedicados a cuestiones cosmológicas generales, Einstein¹ y de Sitter² llegan a dos tipos concebibles de universo. Einstein obtiene el llamado mundo cilíndrico, en el que el espacio³ tiene una curvatura constante que no cambia con el tiempo y el radio de curvatura está relacionado con la masa total de materia que hay en el espacio. De Sitter obtiene un mundo esférico en el que no solo el espacio, sino todo el mundo tiene, en cierta medida, el carácter de un mundo de curvatura constante⁴. Adicionalmente, tanto Einstein como de Sitter asumen ciertos supuestos sobre el tensor de materia, que corresponden a la hipótesis de que la materia no está ligada y que está en reposo relativo, o sea, que la velocidad de la materia es lo suficientemente pequeña en comparación con la velocidad fundamental⁵, es decir, con la velocidad de la luz.

El propósito de esta nota es, en primer lugar, obtener los mundos cilíndrico y esférico como casos particulares que resultan de algunos supuestos generales y, luego, mostrar la posibilidad de obtener un mundo cuya curvatura sea constante con respecto a las tres coordenadas consideradas espaciales, pero que cambia con el tiempo, es decir, que depende de la cuarta coordenada considerada la temporal. Este nuevo tipo de universo, en sus otras propiedades, se asemeja al mundo cilíndrico de Einstein.

2. Los supuestos sobre las que basaremos nuestras consideraciones se dividen en dos clases. La primera clase incluye los mismos supuestos realizados por Einstein y de Sitter y se relacionan con las ecuaciones a las que obedecen los potenciales gravitacionales y con el estado y el movimiento de la materia en el espacio. A la segunda clase pertenecen las suposiciones sobre el carácter general, por así decirlo, geométrico del mundo. De las hipótesis que hemos adoptado se pueden obtener, como casos particulares, tanto el mundo cilíndrico de Einstein como el mundo esférico de De Sitter.

Los supuestos de la primera clase son los siguientes:

1) Los potenciales gravitacionales satisfacen el sistema de ecuaciones de Einstein con el así llamado término cosmológico que, como caso particular, puede ser igual a cero:

$$R_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}\bar{R}+\lambda g_{ik}=-\varkappa T_{ik}\ \ \ \ (i,\ k=\ 1,\ 2,\ 3,\ 4)$$

donde $g_{ik}$ son los potenciales gravitacionales, $T_{ik}$ es el tensor de materia, $\varkappa$ es una constante, $\bar{R}=g^{ik}R_{ik}$ y el tensor $R_{ik}$ se define con las ecuaciones:

$$R_{ik}=\frac{\partial^2\mathrm{lg}\sqrt g}{\partial x_i\ \partial x_k}-\frac{\partial \mathrm{lg}\sqrt g}{\partial x_\sigma}\left\{\begin{matrix}i\ k\\\sigma\\\end{matrix}\right\}-\frac{\partial}{\partial x_\sigma}\left\{\begin{matrix}i\ k\\\sigma\\\end{matrix}\right\}+\left\{\begin{matrix}i\ \alpha\\\sigma\\\end{matrix}\right\}\left\{\begin{matrix}k\ \sigma\\\alpha\\\end{matrix}\right\},$$

donde $x_i\ (i=1,\ 2,\ 3,\ 4)$ son las coordenadas del mundo y $\left\{\begin{matrix}i\ k\\l\\\end{matrix}\right\}$ son los símbolos de Christoffel de segundo tipo⁶.

2) La materia está en un estado libre y en reposo relativo entre sí. Hablando menos estrictamente, las velocidades relativas de la materia son insignificantes en comparación con la velocidad de la luz. Bajo estos supuestos, el tensor de materia $T_{ik}$ está determinado por las ecuaciones:

$$\begin{aligned}T_{ik} & =0 \ \ \mathrm{(cuando} \ i \ \mathrm{y} \ k \ \mathrm{no} \ \mathrm{son}, \ \mathrm{ambos}, \ \mathrm{iguales} \ \mathrm{a} \ 4) \\T_{44} & = c^2\varrho g_{44}\\\end{aligned}$$

donde $\varrho$ es la densidad de materia y $c$ es la velocidad fundamental. En este caso, por supuesto, las coordenadas del mundo se dividen en dos grupos: $x_1, \ x_2, \ x_3$ se denominan coordenadas espaciales y $x_4$, coordenada temporal.

3. Las suposiciones de la segunda clase son las siguientes:

1) Al seleccionar de las cuatro coordenadas del mundo las tres espaciales $(x_1, \ x_2, \ x_3)$ tendremos un espacio de curvatura constante que puede, sin embargo, cambiar con el flujo de la cuarta coordenada temporal $x_4$. El intervalo⁷ $\dd s$ definido por la ecuación $\dd s^2= g_{ik}\dd x_i \dd x_k$ se puede escribir utilizando la modificación correspondiente en las coordenadas espaciales de la siguiente forma:

$$\dd s^2=R^2(\dd x_1^2+\sin^2x_1\dd x_2^2+\sin^2x_1\sin^2x_2\dd x_3^2)+2g_{14}\dd x_1\dd x_4+2g_{24}\dd x_2\dd x_4+2g_{34}\dd x_3\dd x_4+g_{44}\dd x_4^2$$

donde $R$ es función solo de $x_4$. $R$ es proporcional al radio de curvatura del espacio, por lo que el radio de curvatura del espacio puede cambiar en el trascurso del tiempo.

2) En la expresión del intervalo $\dd s^2$, $g_{14},\ g_{24},\ g_{34}$ se convierten en cero con una elección adecuada de la coordenada temporal; lo que, en resumen, significa que el tiempo es ortogonal al espacio. Este segundo supuesto, me parece, no se basa en ninguna consideración física o filosófica y se introduce únicamente con el propósito de simplificar los cálculos. Cabe señalar que los mundos de Einstein y de Sitter son casos especiales del supuesto considerado.
Los supuestos 1) y 2) nos permiten expresar $\dd s^2$ en la forma:

$$\dd s^2=\ R^2(\dd x_1^2+\sin^2x_1\dd x_2^2+\sin^2x_1\sin^2x_2\dd x_3^2)+M^2\dd x_4^2$$

donde $R$ depende solo de $x_4$ y $M$, en general, es función de las cuatro coordenadas del mundo. El universo de Einstein se obtiene como un caso particular, cuando en la fórmula (D) se reemplaza $R^2$ por $-\frac{R^2}{c^2}$ y $M$ por 1, siendo $R$ un radio de curvatura del espacio constante (no dependiente de $x_4$). El universo de De Sitter se obtiene cuando en la fórmula (D) se reemplaza $R^2$ por $-\frac{R^2}{c^2}$ y $M$ por $\cos x_1$: ⁸

$$\dd \tau^2=-\frac{R^2}{c^2}\left(\dd x_1^2+\sin^2x_1\dd x_2^2+\sin^2x_1\sin^2x_2\dd x_3^2\right)+\dd x_4^2 \ \ \ \ \ \ \ .$$

$$\dd \tau^2=-\frac{R^2}{c^2}\left(\dd x_1^2+\sin^2x_1\dd x_2^2+\sin^2x_1\sin^2x_2\dd x_3^2\right)+\cos^2x_1\dd x_4^2$$

4. Es necesario decir algunas palabras más sobre los intervalos en los que están comprendidas las coordenadas del mundo, en otras palabras, es necesario acordar qué puntos de la variedad de cuatro dimensiones consideraremos como diferentes. Sin entrar en explicaciones más detalladas, acordamos variar las coordenadas espaciales en los siguientes intervalos: $x_1$ en el intervalo $\left(0,\ \pi\right)$, $x_2$ en el intervalo $\left(0,\ \pi\right)$ y $x_3$ en el intervalo $\left(0,\ 2\pi\right)$. En cuanto a la coordenada de tiempo, dejaremos abierta la cuestión de su intervalo de variación, pero volveremos a ello más tarde.

§2. 1. Asumiendo en las ecuaciones (A) que $i=1\ ,2\ ,3$ y que $k=4$, de los supuestos (C) y (D) encontramos que:

$$R’(x_4)\frac{\partial M}{\partial x_1}=R’(x_4)\frac{\partial M}{\partial x_2}=R’(x_4)\frac{\partial M}{\partial x_3}=0$$

En estas ecuaciones se presentan dos casos: (i) $R’\left(x_4\right)=0$, $R$ no depende de $x_4$ y es constante. Llamamos a este caso mundo estacionario, y (ii) $R’\left(x_4\right)\neq0$, $M$ depende solo de $x_4$. Llamamos a este caso mundo no estacionario.

Considerando primero el mundo estacionario, escribimos las ecuaciones (A) para $i,\ k=1,\ 2,\ 3$ bajo el supuesto de que $i\neq k$. De estas ecuaciones nos resulta el siguiente sistema de fórmulas:

$$\frac{\partial^2M}{\partial x_1\partial x_2}-\mathrm{cotg} \ x_1\frac{\partial M}{\partial x_2}=0$$

$$\frac{\partial^2M}{\partial x_1\partial x_3}-\mathrm{cotg} \ x_1\frac{\partial M}{\partial x_3}=0$$

$$\frac{\partial^2M}{\partial x_2\partial x_3}-\mathrm{cotg} \ x_2\frac{\partial M}{\partial x_3}=0$$

Integrando estas ecuaciones encontramos:

$$M=A\left(x_3{,x}_4\right)\sin x_1\sin x_2+B\left(x_2{,x}_4\right)\sin x_1 +C\left(x_1{,x}_4\right)$$

donde $A$, $B$ y $C$ son funciones arbitrarias de sus argumentos. Resolviendo las ecuaciones (A) con respecto al tensor $R_{ik}$ por los métodos habituales, excluyendo la densidad $\varrho$ desconocida⁹ de las ecuaciones obtenidas y aún no utilizadas y sustituyendo la expresión (1) por $M$ en estas ecuaciones, después de largos pero elementales cálculos, encontramos que las siguientes dos expresiones son posibles para $M$:

$$M=M_0=\mathrm{constante}$$

$$M=\left(A_0x_4+B_0\right)\cos x_1$$

donde $M_0$, $A_0$ y $B_0$ son constantes.

Cuando $M$ es igual a un número constante, tenemos, para el mundo estacionario, un mundo cilíndrico. En este caso, es más conveniente operar con potenciales gravitacionales obtenidos de la fórmula (D1). Determinando la densidad y la magnitud $\lambda$, obtenemos el conocido resultado de Einstein:

$$\lambda=\frac{c^2}{R^2}\ ,\ \ \ \ \ \varrho=\frac{2}{\varkappa R^2}\ ,\ \ \ \ \ \ \bar{M}=\frac{4\pi^2}{\varkappa}R$$

donde $\bar{M}$ es la masa total del espacio.

En el otro posible caso, cuando $M$ se define según la fórmula (3) y por medio de una razonable transformación de $x_4$ ¹⁰, obtenemos el mundo esférico de De Sitter en el que $M=\cos x_1$. Utilizando la fórmula (D2), obtenemos las siguientes relaciones de De Sitter:

$$\lambda=\frac{{3c}^2}{R^2},\ \ \ \ \ \varrho=0,\ \ \ \ \ \ \bar{M}=0$$

De esta forma, el mundo estacionario puede ser el mundo cilíndrico de Einstein o el mundo esférico de De Sitter.

2. Pasemos ahora al estudio del otro mundo posible: el no estacionario. En este caso, $M$ es solo función de $x_4$. Como consecuencia, modificando $x_4$, podemos asumir $M=1$ sin pérdida de generalidad. Teniendo en cuenta la conveniencia de nuestras representaciones habituales, escribimos $ds^2$ en una forma similar a (D1) y (D2):

$$\dd \tau^2=-\frac{R^2\left(x_4\right)}{c^2}\left(\dd x_1^2+\sin^2x_1\dd x_2^2+\sin^2x_1\sin^2x_2\dd x_3^2\right)+\dd x_4^2$$

Nuestra tarea es determinar $R$ y $\varrho$ a partir de las ecuaciones (A). Obviamente, las ecuaciones (A) en las que los índices son diferentes, no darán nada; mientras que las ecuaciones (A) en las que $i=k=1,\ 2,\ 3,$ darán la correlación:

$$\frac{{R’}^2}{R^2}+\frac{2RR"}{R^2}+\frac{c^2}{R^2}-\lambda=0$$

Y en la ecuación (A) en la que $i=k=4$ tendremos la igualdad:

$$\frac{{3R’}^2}{R^2}+\frac{3c^2}{R^2}-\lambda={\varkappa c}^2\varrho$$

donde

$$R’=\frac{\dd R}{{\dd x}_4} \ \ \ \ \mathrm{y} \ \ \ \ R''=\frac{\dd ^2R}{\dd x_4^2}$$

Dado que $R’\neq0$, entonces la integración de la ecuación (4) después de que, por conveniencia, reemplazamos $x_4$ por $t$, obtenemos la ecuación:

$$\frac{1}{c^2}\left(\frac{\dd R}{\dd t}\right)^2=\frac{A-R+\frac{\lambda}{3c^2}R^3}{R}$$

donde $A$ es una constante arbitraria. A partir de esta ecuación, $R$ se obtiene invirtiendo una integral elíptica, es decir resolviendo, con respecto a $R$, la ecuación:

$$t=\frac{1}{c}\int_{a}^{R}{\sqrt{\frac{x}{A-x+\frac{\lambda}{3c^2}x^3}}} \dd x+B$$

donde $B$ y $a$ son constantes. En este caso, por supuesto, hay que recordar los cambios habituales en el signo de la raíz cuadrada. La ecuación (5) nos permite determinar $\varrho$:

$$\varrho=\frac{3A}{\varkappa R^3}$$

La constante $A$ se expresa a través de la masa total $\bar{M}$ del espacio según la igualdad:

$$A=\frac{\varkappa\bar{M}}{6\pi^2}$$

Suponiendo que la masa $\bar{M}$ es un valor positivo, también obtendremos un valor positivo para $A$.

3. El estudio del mundo no estacionario se basa en el estudio de las ecuaciones (6) y (7). En este caso, por supuesto, el valor de $\lambda$ no está determinado por sí mismo y, al estudiar las ecuaciones (6) y (7), asumiremos que $\lambda$ puede tomar cualquier valor. Determinemos aquellos valores de la variable $x$, en los que la raíz cuadrada incluida en la fórmula (7) puede cambiar de signo. Restringiéndonos al caso de un radio de curvatura positivo, nos basta con considerar los valores de $x$ en los que la expresión en la raíz se vuelve cero o infinito en el intervalo $\left(0,\infty\right)$ para $x$, es decir. para $x$ positivo. Uno de los valores de $x$ en los que la raíz cuadrada de la fórmula (7) es nula es cuando $x=0$. Otros valores de $x$, en los que la raíz cuadrada en la fórmula (7) puede cambiar su signo se determinarán mediante el estudio de las raíces positivas de la ecuación $A-x+\frac{\lambda}{3c^2}x^3=0$. Estableciendo $\frac{\lambda}{3c^2}$ como $y$, construimos una familia de curvas de tercer grado en el plano $(x,\ y)$ definida por la ecuación

$$yx^3-x+A=0$$

donde $A$ es el parámetro de la familia de curvas que varía en el intervalo $\left(0,\infty\right)$. Las curvas de nuestra familia que se muestran en la figura intersecan el eje $x$ en el punto $x\ =\ A,\ \ y=0$ y tienen un máximo en el punto

$$x\ =\ \frac{3A}{2},\ \ \ \ y=\frac{4}{27A^2}$$

La figura nos muestra que, para valores negativos de $\lambda$, la ecuación $A-x+\frac{\lambda}{3c^2}x^3=0$ tiene una raíz positiva $x_0$ en el intervalo $\left(0,A\right)$. Si consideramos $x_0$ como una función de $\lambda$ y A:

$$x_0=\Theta\left(\lambda,A\right)$$

encontramos que $\Theta$ es una función creciente con respecto a $\lambda$ y es una función creciente con respecto a $A$. Además, si $\lambda$ se encuentra en el intervalo $\left(0,\frac{4}{9}\frac{c^2}{A^2}\right)$, entonces nuestra ecuación tendrá dos raíces positivas: $x_0=\Theta\left(\lambda,A\right)$ y ${x’}_0=\vartheta\left(\lambda,A\right)$, donde $x_0$ se encuentra en el intervalo $\left(A,\frac{3A}{2}\right)$ y ${x’}_0$ en el intervalo $\left(\frac{3A}{2},\infty\right)$. $\Theta\left(\lambda,A\right)$ será una función creciente tanto con respecto a $\lambda$ como a $A$ y $\vartheta\left(\lambda,A\right)$ será una función decreciente tanto con respecto a $\lambda$ como a $A$. Finalmente, si $\lambda$ es mayor que $\frac{4}{9}\frac{c^2}{A^2}$, entonces nuestra ecuación no tendrá raíces positivas.
Iniciemos la investigación de la fórmula (7) haciendo una observación: consideremos que, en el momento inicial, es decir, en $t=t_0$, el radio de curvatura es $R_0$. En este momento inicial, la raíz cuadrada en la fórmula (7) tendrá el signo más o el signo menos, dependiendo de si el radio de curvatura aumenta o no con el tiempo en $t=t_0$. Cambiando el tiempo $t$ por $-t$, siempre podremos asignar un signo más a esta raíz cuadrada, es decir, sin pérdida de generalidad, podremos elegir el tiempo para que el radio de curvatura, en el momento inicial $t=t_0$ considerado, aumente al incrementarse el tiempo.

4. Consideremos el caso cuando$\lambda>\frac{4}{9}\frac{c^2}{A^2}$ y, por lo tanto, la ecuación $A-x+\frac{\lambda}{3c^2}x^3=0$ no tendrá raíces positivas. En este caso, la ecuación (7) se reescribirá de la siguiente manera:

$$t-t_0=\frac{1}{c}\int_{R_0}^{R}{\sqrt{\frac{x}{A-x+\frac{\lambda}{3c^2}x^3}}}\dd x$$

además, según el comentario que se hace al final del punto anterior, la raíz cuadrada siempre será positiva. De ello se deduce que $R$ será una función creciente con respecto a $t$. En este caso, no se imponen restricciones sobre el valor inicial del radio de curvatura $R_0$.

Dado que el radio de curvatura no puede ser menor que cero, entonces, disminuyéndolo desde $R_0$ con la disminución de $t$, llegará a cero después de un cierto intervalo de tiempo $t’$. Al intervalo de tiempo requerido para que el radio de curvatura $R$ vaya de 0 a $R_0$ lo llamaremos el tiempo transcurrido desde la creación del mundo¹¹. Este intervalo $t’$ está determinado por la igualdad:

$$t’=\frac{1}{c}\int_{0}^{R_0}{\sqrt{\frac{x}{A-x+\frac{\lambda}{3c^2}x^3}}}\dd x$$

Convengamos en llamar mundo monótono del primer tipo a este mundo.

El tiempo transcurrido desde la creación del mundo monótono de primer tipo, considerado en función de $R_0,\ A,\ \lambda$, tiene las siguientes propiedades: 1) aumenta con el aumento de $R_0$; 2) disminuye con un aumento de $A$, es decir, con un aumento de la masa en el espacio; 3) disminuye al aumentar $\lambda$. Si ${A>\frac{2}{3}R}_0$, entonces para cualquier $\lambda$ el tiempo transcurrido desde la creación del mundo es finito. Por supuesto, si ${A\le\frac{2}{3}R}_0$, entonces siempre existe tal valor característico $\lambda=\lambda_1=\frac{4}{9}\frac{c^2}{A^2}$ que, a medida que $\lambda$ se acerca a este valor, el tiempo transcurrido desde la creación del mundo aumentará ilimitadamente.

5. Supongamos ahora que $\lambda$ se encuentra en el intervalo $\left(0,\ \ \frac{4}{9}\frac{c^2}{A^2}\right)$. En este caso, el valor inicial del radio de curvatura $R_0$ puede estar en uno de tres intervalos: $\left(0,\ x_0\right), \left(\ x_0,x_0^,\right), \left(\ x_0^,,\infty\right)$. Si $R_0$ se encuentra en el intervalo $\left(\ x_0,x_0^,\right)$, entonces la raíz cuadrada en la fórmula (7) tiene un valor imaginario y no puede existir un espacio con tal curvatura inicial.

Consideraremos el caso en el que $R_0$ se encuentra en el intervalo $\left(0,\ x_0\right)$ en la siguiente sección, por lo que ahora nos centraremos en el tercer caso, cuando $R_0>x_0^,$ o $R_0>\vartheta\left(\lambda,A\right)$. En este caso, con un razonamiento similar a los dados en el párrafo anterior, se puede demostrar que $R$ será una función creciente con respecto al tiempo y $R$ puede variar a partir de $x_0^,=\vartheta\left(\lambda,A\right)$. El intervalo de tiempo transcurrido desde el momento en que $R_0=x_0^,$, hasta el momento en que $R=R_0$ lo llamaremos al tiempo transcurrido desde la creación del mundo y lo denotaremos por $t’$:

$$t’=\frac{1}{c}\int_{x_0^,}^{R_0}{\sqrt{\frac{x}{A-x+\frac{\lambda}{3c^2}x^3}}}\dd x$$

Convengamos en llamar mundo monótono del segundo tipo a este mundo.

6. Finalmente, consideramos el caso en el que $\lambda$ se encuentra en el intervalo $\left(-\infty,0\right)$. En este caso, si $R_0>x_0=\Theta\left(\lambda,A\right)$, entonces la raíz cuadrada en la fórmula (7) se vuelve imaginaria y, por tanto, el espacio con ese radio de curvatura no puede existir. Si $R_0<x_0$, entonces este caso será exactamente el mismo que el caso omitido en la subsección anterior. Supongamos que $\lambda$ se encuentra en el intervalo $\left(-\infty,\ \ \frac{4}{9}\frac{c^2}{A^2}\right), y R_0<x_0$. En este caso, podemos demostrar mediante los razonamientos ordinarios¹² que $R$ será una función periódica de $t$ con un período $t_\pi$, que llamaremos el período del mundo y que será definido por la fórmula:

$$t_\pi=\frac{2}{c}\int_{0}^{x_0}{\sqrt{\frac{x}{A-x+\frac{\lambda}{3c^2}x^3}}}\dd x$$

y el radio de curvatura del mundo variará de 0 a $x_0$. Convengamos en llamar mundo periódico a este tipo de mundo. El período del mundo periódico aumenta al aumentar $\lambda$, tendiendo a infinito cuando $\lambda$ tiende a $\lambda_1=\frac{4}{9}\frac{c^2}{A^2}$.

Para valores pequeños de $\lambda$, el período $t_\pi$ está determinado por la siguiente fórmula aproximada:

$$t_\pi=\frac{\pi A}{c}$$

El mundo periódico se puede ver desde dos puntos de vista: si consideramos que dos eventos son coincidentes si sus coordenadas espaciales coinciden y la diferencia de las coordenadas temporales es un múltiplo entero del período, entonces el radio de curvatura del mundo aumenta primero de 0 a $x_0$ y luego disminuirá a cero: entonces el tiempo de existencia del mundo será finito. Por otro lado, si el tiempo varía de $-\infty$ a $\infty$, es decir, si consideramos que dos eventos son iguales cuando coinciden no sólo sus coordenadas espaciales, sino también sus coordenadas temporales, tendremos la verdadera periodicidad de la curvatura del espacio.

7. Los datos de que disponemos son completamente insuficientes para cualquier cálculo numérico y para resolver la cuestión de qué tipo de mundo es nuestro universo. Tal vez el problema de la causalidad y el problema de la fuerza centrífuga arrojen luz sobre estos temas. Cabe señalar que en las fórmulas que obtuvimos el parámetro cosmológico $\lambda$ permanece indeterminado en nuestras fórmulas, siendo una constante adicional del problema. Quizás las consideraciones electrodinámicas puedan determinar este término. Suponiendo que $\lambda=0$ y considerando $M=5 \times {10}^{21}$ masas solares, tendremos un valor del orden de 10 mil millones de años para el período del mundo. Por supuesto, estas cifras tienen un carácter puramente ilustrativo.

Petrogrado, 29 de mayo de 1922.

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Notas
¹ Einstein A., Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie [Consideraciones cosmológicas relacionadas con la teoría general de la relatividad], Sitzungsberichte Berl. Akad. 1917.

² De Sitter, On Einstein's theory of gravitation and its astronomical consequences [Sobre la teoría de la gravitación de Einstein y sus consecuencias astronómicas], Monthly Notices of the R. Astronom. Soc., 1916-1917.

³ Con espacio nos referimos al espacio descrito por una variedad de tres dimensiones, mientras que con el término mundo nos referimos al espacio descrito por una variedad de cuatro dimensiones.

⁴ Klein F., Über die Integralform der Erhaltungssätze und die Theorie der räumlich-geschlossenen Welt [Sobre la forma integral de los teoremas de la conservación y la teoría de un mundo espacialmente cerrado], Götting. Nachr. 1918

⁵ Ver este término en el libro de Eddington Espace, Temps et Gravitation [Espacio, tiempo y gravitación], 2 Partie, p.10. Paris, 1921.

⁶ El signo de $R_{ik}$ y el de $\bar{R}$ es aquí el contrario al que generalmente se usa para estos términos.

⁷ Ver, por ejemplo, Eddington, Espace, Temps et Gravitation [Espacio, tiempo y gravitación], 2 Partie. Paris 1921.

⁸ Al asignarle a $\dd s$ la dimensión de tiempo, lo denotamos como $\dd \tau$. En este caso, la constante $\varkappa$ tendrá como dimensión $\frac{longitud}{masa}$ y, en unidades CGS, será igual a $1,87 \times {10}^{-27}$. Ver Laue, Die Relativitätstheorie [La teoría de la relatividad], Bd. II, p. 185. Braunschweig 1921.

⁹ La densidad $\varrho$ es, en nuestro caso, una función desconocida de las coordenadas del mundo $x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4$.

¹⁰ La trasformación señalada se lleva a cabo con ayuda de la fórmula $d{\bar{x}}_4=\sqrt{A_0x_4+B_0}\ \dd x_4$.

¹¹ El tiempo transcurrido desde la creación del mundo caracteriza el tiempo transcurrido desde el momento en que el espacio era un punto ($R=0$) hasta su estado actual ($R=Ro$). Este tiempo puede ser infinito.

¹² Véase, por ejemplo, Weierstrass, Über eine Gattung reel periodischer Funktionen [Acerca de un tipo de funciones periódicas reales], Monastber. d. Königl. Akad. d. Wissensch., 1866, y también Zur Theorie der kleinen endlichen Schwingungen [Hacia la teoría de las pequeñas oscilaciones finitas], ZS. f. Math. en Physik 47, 400, 1902. En nuestro caso, por supuesto, es necesario introducir algunas modificaciones en el razonamiento de los autores citados; sin embargo, la periodicidad en nuestro caso.