Al girar un objeto lo elevamos

[javier m]

hemos notado que siempre que tenemos una cuerda con una piedra y la hacemos girar desde el suelo, la piedra empieza a elevarse hasta llegar a cierta altura, o inclusive si alguna vez hayan visto a alguien (mas que todo en el colegio) cuando es agarrado de las piernas por otra persona y este empieza a girar, inicialmente cerca del suelo y después se alza . Voy a demostrar esto por medio de la 2da ley de Newton.

cuando la altura aumenta necesariamente tambien lo hace el angulo $\theta$

$$T\cos\theta=mg$$

$$T\sin\theta=m\dst\frac{v^2}{R}$$

divido (1) entre (2)

$$\dst \frac{T\cos\theta}{T\sin\theta}=\dst\frac{mgR}{mv^2}$$

cancelo $T$ y $m$; y reemplazo $R$ por $l\sin\theta$:

$$\dst\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\dst\frac{gl\sin\theta}{v^2}$$

para no complicarme la existencia escribiendo dato tras dato, voy a hacer $k=\frac{gl}{v^2}$

$$\cos\theta=k\sin^2\theta$$

$$\cos\theta=k(1-\cos^2\theta)$$

$$k\cos^2\theta+ \cos\theta=k$$

bueno hasta aquí llego, yo lo que hice fue usar el metodo de factorizacion(no me acuerdo de su nombre) que consiste en que si se tiene $a^2+2ab$ se completa con $b^2$ para que quede $(a+b)^2$:

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se hacen las respectivas operarciones y listo:

$$\theta=arc\cos\dst\frac{\dst\sqrt{4k^2 + 1}-1}{2k}$$

cuando el cuerpo se eleva llega un momento en que no importe cuan rapido le demos que el no va a seguir subiendo y eso es precisamente lo que demuestra la ecuación, desgraciadamente no puedo subir la grafica, solo puedo subir una imagen similar a la forma de la grafica

$\theta(v)$


veamos ahora hasta que angulo se puede llegar

$$\lim_{v \to \infty}k=\lim_{v\to\infty}\dst\frac{gl}{v^2}=0$$

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por L'hospital,osea derivando a el numerador y a el denominador

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se resuelve todo y que da

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$$arc\cos\dst\frac{0}{4}=arc\cos 0=90$$

90, es el tope y se alcanza a acercar a él muy facilmente

[javier m]

pero así tendría 2 variables: la velocidad y el radio. observa que al levantarse el objeto el radio también cambia.

[lindtaylor]

verdad error mio chamullando un poco podria ponerle la restriccion que el radio es muy pequeño en comparacion con la velocidad que toma el objeto y talvez ahi podria considerarlo .

[javier m]

verdad error mio

tambien se me pasó a mi al comienzo

chamullando un poco podria ponerle la restriccion que el radio es muy pequeño en comparacion con la velocidad que toma el objeto

pos sí