Qué es un Lattice

[javier m]

Estaba en un examen, y me encuentro con un problema que me pide que demuestre que, dado un espacio vectorial, el conjunto de los subespacios vectoriales ordenado por inclusión es un lattice. Yo en la primera leída no entendí nada, porque no recordaba qué era un lattice, me sonaba que era algo relacionado con conjuntos de 2 elementos y con sus máximos y mínimos, o algo así.

Se me da por preguntarle al profesor dudando de que me fuese a responder algo tan básico, pero él sí decide qué es un lattice (también me había dicho qué era una cadena).


Un lattice es un conjunto parcialmente ordenado, tal que cada doblete $\{ x,y \}$ del conjunto tiene supremo y tiene ínfimo.

Resulta que el ínfimo del doblete de subespacios $\{ V_1, V_2 \}$ es $V_1 \cap V_2$, puesto que $V_1 \cap V_2$ es un subespacio que está contenido en $V_1$ y $V_2$, y además es el más grande que cumple esa condición. El supremo es $V_1+V_2$, ya que este contiene tanto a $V_1$ como a $V_2$, y es el más pequeño que hace eso.


Tiempo después del examen, luego de comentar que no sabía qué era un lattice a un amigo, él me dice “¿no es una red?”. Se lo comento a otro y me vuelve a decir “¿no es una red?”, y yo digo “No, ¿por qué todos me dicen lo mismo?”, “Porque así se traduce al español” me contesta.

Ah no, sí, sí es una red (un enrejado, más bien):
Se tiene que aunque $V_1$ y $V_2$ no sean comparables ($V_1 \not \subset V_2$ y $V_2 \not \subset V_1$), al final ellos siempre se terminan conectando de alguna manera, tanto por arriba ($V_1+V_2$) como por abajo ($V_1 \cap V_2$).



Qué linda manera tienen los matemáticos de sacar la esencia de los conceptos, y qué acertados son para poner nombres.