Geometría Diferencial, Frenet - Serret

[juantv]

Sea C una curva en el espacio definida por la funcion $\mathbf{r}(u)$ , segun se ve en calculo $\dst \frac{d \mathbf{r}}{du}$ es un vector tangente a C, a este vector lo llamaremos T.

Al vector unitario B perpendicular al plano formado por T y N (la normal) se llama binormal a la curva.

dado que T es unitario se tiene que $\dst \mathbf{T} \cdot \mathbf{T} = 1$ , $\dst \mathbf{T} \cdot \frac{d \mathbf{T}}{ds} = 0$ (considerando al escalar u como la longitud de arco s medida a partir de un punto fijo de C)

lo que quiere decir que $\dst \frac{d \mathbf{T}}{ds}$ es perpendicular a T, luego es paralelo a N (vector unitario en la direccion y sentido de $\dst \frac{d \mathbf{T}}{ds}$ ) , esto es :

$$\frac{d \mathbf{T}}{ds} = k \mathbf{N}$$

De la figura se ve que B se puede definir como B= T X N, diferenciando

$\dst \frac{d \mathbf{B}}{ds} = \mathbf{T} \wedge \frac{d \mathbf{N}}{ds} + \frac{d \mathbf{T}}{ds} \wedge \mathbf{N} = \mathbf{T} \wedge \frac{d \mathbf{N}}{ds}$

$\dst \mathbf{T} \cdot \frac{d \mathbf{B}}{ds} = 0$ , esto es,T es perpendicular a $\dst \frac{d \mathbf{B}}{ds}$, y este ultimo perpendicular a B, luego esta situado en el plano formado por T y N, luego es paralelo a N

$$\dst \frac{d \mathbf{B}}{ds} = -\tau \mathbf{N}$$

En el triedro movil, N = B X T , $\dst \frac{d \mathbf{N}}{ds} = \mathbf{B} \wedge \frac{ d \mathbf{T}}{ds} + \frac{ d \mathbf{B}}{ds} \wedge \mathbf{B} = \mathbf{B} \wedge k \mathbf{N} - \tau \mathbf{N} \wedge \mathbf{T}$

$$\dst \frac{d \mathbf{N}}{ds} = \tau \mathbf{B} - k \mathbf{T}$$

Resumiendo, hemos obtenido las ecuaciones de frenet - serret

$$\dst \left\{\begin{matrix}\dst \frac{d \mathbf{T}}{ds} = k \mathbf{N} \\ \<br /> <br /> \dst \frac{d \mathbf{B}}{ds} = -\tau \mathbf{N}<br /> \\<br /> <br /> \dst \frac{d \mathbf{N}}{ds} = \tau \mathbf{B} - k \mathbf{T}\end{matrix}\right.$$