Análisis de sistemas mediante la transformada de Laplace

[Julián]

La mayoría de los sistemas físicos son descritos por ecuaciones integro-diferenciales:

$\dst f(t) = {a}_{n} \frac{\mathrm{{d}^{n} x(t)} }{\mathrm{{d t}^{n}} } + {a}_{n-1} \frac{\mathrm{{d}^{n-1} x(t)} }{\mathrm{{d t}^{n-1}} }+...+ {a}_{1} \frac{\mathrm{d x(t)} }{\mathrm{d t} }+ a' {\int}_0}^{t} x(t) dt + bx(t)$

Donde $f(t)$ es la excitación del sistema y $x(t)$ la respuesta. El sistema puede ser un sistemas mecánico, eléctrico, temodinámico etc.

Para dar algunos ejemplos de la infinidad de sistemas:
Sea un sistema, un (auto, camión, avión) en donde $f(t)= \tau {R}^{-1}$ es la fuerza del motor y $\beta$ (cuya medida es fuerza sobre velocidad), es una magnitud que relaciona el rozamiento del aire y rodadura en función de la velocidad.

$\dst f(t) = m \frac{\mathrm{{d}^{2} x(t)} }{\mathrm{{dt }^{2} } } + \beta \frac{\mathrm{d x(t)} }{\mathrm{d t} }$

Sea un circuito eléctrico con componentes pasivos RLC serie, donde la excitación es la tensión y la respuesta buscada la corriente, su sistema está descripto por:

$\dst \frac{\mathrm{d} v(t)}{\mathrm{d} t} = L \frac{\mathrm{{d}^{2}} i(t)}{\mathrm{{d t}^{2}} }+ R \frac{\mathrm{d} i(t)}{\mathrm{d} t} + \frac{1}{C } i(t)$

Considérese un sistema mecánico elástico, donde $e(t)$ es una fuerza de excitación.

$\dst e(t) = m \frac{\mathrm{{d}^{2} x(t)} }{\mathrm{{dt }^{2} } } + \beta \frac{\mathrm{d x(t)} }{\mathrm{d t} }+ kx(t)$

Bajo ciertas condiciones dichos sistemas son lineales e invariantes en el tiempo. Es decir, la función respuesta puede estar modificada por cualquier operador (operador producto, integrador, diferenciador) pero no por operadores potencia y radicación y a su vez la invarianza en el tiempo implica que las constantes no deben depender del tiempo.

Un funcional es una función cuyo dominio e imagen son funciones.

$y(t)= f(x(t))$

[FONT=sans-serif]Una función es lineal cuando cumple que la imagen de la suma es igual a la suma de las imágenes, es decir:

[/FONT]

[FONT=sans-serif]$\dst y(t) = f (a {x}_{1}(t) + b {x}_{2}(t)) = a f({x}_{1}(t)) + b f({x}_{2}(t)) =a {y}_{1}(t) + b {y}_{2}(t)$ [/FONT]donde $a, b, c \in R$

Veamos como los operadores producto, integrador y derivador son lineales y la potencia no:

$\dst y(t) = c(a{x}_{1}(t) + b{x}_{2}(t))= c a {x}_{1}(t)+ c b {x}_{2}(t)= c a{y}_{1}(t)+ c b {y}_{2}(t)$

$\dst y(t) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t } ((a{x}_{1}(t) + b{x}_{2}(t))) = a \frac{\mathrm{d} {x}_{1}(t)}{\mathrm{d}t } + a \frac{\mathrm{d} {x}_{2}(t)}{\mathrm{d}t }= a {y}_{1}(t)+ b {y}_{2}(t)$

$\dst y(t) = \int (a{x}_{1}(t) + b{x}_{2}(t)) dt = a \int a{x}_{1}(t) dt + b \int b{x}_{2}(t) dt = a {y}_{1}(t)+ b {y}_{2}(t)$

$\dst y(t) = {(a{x}_{1}(t) + b{x}_{2}(t))}^{2} = {a}^{2} {{x}_{1}(t)}^{2} + 2 a b {x}_{1}(t){x}_{2}(t) +{b}^{2} {{x}_{2}(t)}^{2} \neq a{y}_{1}(t) + b {y}_{2}(t)$

Existe una relación funcional extremadamente útil que nos permite representar cualquier función continua, o con un número finito de discontinuidades de salto finito de la siguiente forma:

$\dst F(s) = {\int}_{0}^{\infty} f(t) {e}^{- st} dt$ donde $s= \sigma + i \omega$

La función ${e}^{-st}$ es denominado núcleo de la transformación. Se puede demostrar la unicidad de $F(s)$ para cada función $x(t)$ además se puede demostrar la linealidad de la transformación.

$\dst F(s) = {\int}_{0}^{\infty} (a{x}_{1}(t) + b{x}_{2}(t) ) {e}^{- st} dt = a{F}_{1} (s) + b{F}_{2}(s)$

¿De que sirve pasar del diagrama real al diagrama del plano complejo?

* $\dst F(s) = {\int}_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d} x(t)}{\mathrm{d} t} {e}^{- st} dt = {\int}_{0}^{\infty} d x(t) {e}^{- st} = s F(s) - x(t=0)$

* $\dst F(s) = {\int}_{0}^{\infty} ({\int}_{0}^{t} x(t) dt) {e}^{- st} dt = {\int}_{0}^{\infty} d x(t) {e}^{- st} = \frac{1}{s} F(s)$

De esta manera podemos pasar de ecuaciones integro diferenciales a ecuaciones algebraicas, gracias a la propiedad de linealidad:

$\dst f(t) = {a}_{n} \frac{\mathrm{{d}^{n} x(t)} }{\mathrm{{d t}^{n}} } +...+ {a}_{1} \frac{\mathrm{d x(t)} }{\mathrm{d t} }+ {b}_{n} {\int}_0}^{t}{\int}_{0}^{t}...{\int}_{0}^{t} x(\tau) d\tau +...+ {b}_{1} {\int}_0}^{t} x(\tau) d \tau+ b x(t)$

Por la propiedad de linealidad la transformada del segundo miembro es igual a la suma de las transformada de cada término

$\dst F(s) = {a}_{n} {s}^{n} X(s) +... +{a}_{1} s X(s)+ \frac{{b}_{m} X(s)}{{s}^{m} }+...+\frac{{b}_{1} X(s)}{s }+ b X(s)$

La función de transferencia del sistema, que lo caracteriza completamente es:

$\dst H(s)= \frac{F(s) }{X(s) }= {a}_{n} {s}^{n} +... {a}_{1} s + \frac{{b}_{m} }{{s}^{m} }+...+\frac{{b}_{1} }{s }+ b = \frac{{c}_{n} {s}^{n} + ... +{c}_{1}s + {c}_{0}}{{d}_{m} {s}^{m} + ... + {d}_{1} s + {d}_{0} } = \frac{M(s)}{N(s) }$

Donde $M(s)$ y $N(s)$ son polinomios por lo tanto pueden escribirse como productos de binomios:

$\dst H(s) =A \frac{{(s - {\alpha}_{n})}^{n}... (s-\alpha)}{{(s - {\beta}_{m})}^{m}... (s-\beta) }$

Donde A es la amplitud ${\alpha}_{i}$ son los ceros (valores que hacen mínimo la función) del polinomio y ${\beta}_{i}$ los polos (valores que hacen máximo la función)

La transformada de laplace, además de permitirnos resolver una ecuación diferencial transformandola y resolviendo la ecuación algegraicamente para luego antitransformar. Otra cosa importante es que TODA la información del sistema está en esos polos y ceros. Es decir, sin importar que $H(s)$ sea la función de transferencia de un sistema mecánico, eléctrico, termodinámico, etc. siempre que la función $H(s)$ presenta polos reales negativos el sistema es estable y la respuesta tiende a decaer en el tiempo. Si tiene un polos reales negativos y otro en cero la respuesta del sistema tiende a estabilizarse en un valor. Si tiene polos reales positivos el sistema es inestable y dada una función excitación en el dominio temporal, la respuesta tiendo a aumentar en el tiempo (condición no buscada porque si la respuesta tiende a infinito tarde o temprano en la práctica sea cual sea el sistema se romperá). Si tiene polos imaginarios conjugados el sistema es oscilatorio y si tiene polos complejos conjugados con parte real negativa es un sistema oscilatorio cuya amplitud es decreciente por último si tiene polos complejos conjugados con parte real positiva el sistema es oscilatorio cuya amplitud es creciente en el tiempo. Mientros mas cerca están los polos conjugados al cero más oscilatorio es el sistema, si la parte real de los polos es negativa se pueden dar 3 tipos de amortiguamiento (crítico, sobreamortiguado, subamortiguado) y si son positivos la respuesta crece.

La siguiente imagen con x situa la posición de los polos en el plano complejo:

Veamos 2 ejemplos:

Sea un circuito RLC ($R=1000 \Omega , C = 4700 \mu F , L = 100 mH$)que es exitado por una señal de tensión constante en sus bornes $v(t)= 10 [V]$ y la salida es la tensión en el borne del capacitor, la ecuación diferencial que describe al sistema es:

$\dst v(t)= L \frac{\mathrm{{d}^{2}} i(t)}{\mathrm{{d t}^{2}} }+ R \frac{\mathrm{d} i(t)}{\mathrm{d} t} + \frac{1}{C } i(t)$

Transformando:

$\dst V= (s L + R + \frac{1}{s } )I = (\frac{{s}^{2} L C +s R C+1}{s C }) I$

sabiendo que ${V}_{c} = \frac{I}{s C }$

$\dst V= (\frac{{s}^{2} L C +s R C+1}{s C }) {V}_{c} s C = ({{s}^{2} L C +s R c +1}){V}_{c}$

$\dst H(s) = \frac{{V}_{c}}{V }$$\dst = \frac{1}{ {s}^{2} L C +s R c +1} = \frac{1}{{s}^{2} 4.7*{10}^{-4} Hy F +s 4.7 \Omega F +1} = \frac{2127.6}{(s+ 0.2127)(s+10000)}$

Ya sabemos que la función de transferencia del sistema tiene 2 polos reales negativos por lo que ya podemos inferir que la señal tiende a extinguirse. Para cualquier tensión aplicada en los bornes, la tensión en el capacitor será:

${V}_{c} = H(s) V$

En este caso estamos evaluando que aplicamos una tensión $v(t) = 1 [V]$, su transformada de laplace es:

$\dst V = {\int}_{0}^{\infty} 1 {e}^{-s t} dt = \frac{1}{s}$

Tenemos una señal constante en el tiempo contra un circuito cuya tensión en el capacitor tiendo a extinguirse en el tiempo ¿que nos dará?

$\dst {V}_{c} = \frac{2127.6}{s (s+ 0.2127)(s+10000)} = \frac{1}{s } - \frac{0.1}{(s+ 0.2127)} + \frac{2.12*{10}^{-6}}{(s+ 10000)}$

Efectivamente la tensión en el capacitor resulta de un polo en cero y polos reales negativos, por lo que la antitransformada, que es la tensión en el tiempo tiende a estabilizarse a un valor.

$\dst {v}_{c}(t) =1 - 0.1{e}^{-0.2127 t} + {2.12*{10}^{-6} {e}^{- 10000t}<br />$

Veamos un ejemplo de una barra de hierro de masa despreciable enterrada en el suelo cuya constante elástica es $10000 N/m$ Y en cuyo extremo tiene un bloque de $10 [Kg]$. Y el rozamiento con el aire y entre las partículas de la barra es función de la velocidad y tiene una constante de $25 N {m}^{-1} s$. Directamente planteamos la ecuación en el dominio transformado:

$F(s) = m {s}^{2} X(s) + b s X(s) + kX(s)$

$\dst H(s) = \frac{1}{m {s}^{2} + b s + k } = \frac{1}{10 Kg {s}^{2} + 25 s + 10000 }$$\dst = \frac{0.1}{(s- (-1.25 - 31.5981 i)) (s- (-1.25 + 31.5981 i))}$

Al tener 2 polos complejos conjugados con componentes reales negativos ya de por si sabemos que el sistema es tiene una oscilación subamortiguado.

Si la exitación fuera un impulso unitario cuyo amplitud es de 1 newton.

$\dst F(s)={\int}_{0}^{\infty} \delta (t){e}^{-s t} dt = 1$

$\dst X(s) = H(s) F(s) = \frac{0.1}{(s- (-1.25 - 31.5981 i)) (s- (-1.25 + 31.5981 i))}$$\dst \Rightarrow x(t) = 0.1 {e}^{-1.25 t} cos (31.598 t)$

Como podrán ver con un simple impulso, es decir, dándolo un toquesito de 1 newton el sistema oscila de la siguiente manera:

Sin duda en el siguiente video los ingenieros no tubieron en cuenta los polos de la función de transferencia del puente, considerando la función de transferencia como el cociente entre la transformada de la función excitación (en este caso será la presión del viento) y la función respuesta (la posición del sistema). Seguramente el polinomio de esta es muy complejo pero en tal obra de ingeniería es necesario dicho análisis de los polos del sistema.

https://youtu.be/pl0vzOMYsUU

Vean el siguiente caso, según la función de transferencia del sistema mecánico, análogo al desarrollado anteriormente donde al tener polos complejos conjugado el sistema tiene una oscilación y con tan solo un impulso ya comienza a moverse. Mientrás más chico es el valor de la parte real negativa de los polos más oscilatorio es la respuesta.

https://youtu.be/-PHqCm0wNi4 [FONT=Roboto]
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Para que un sistema sea inestable tenemos la condición de Routh-Hurwitz

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Routh-Hurwitz

[Richard R Richard]

hola, he leido y releido ,me excede a lo que he aprendido, no he ido mas alla de hacer unos ejercicios de resolucion de ecuaciones diferenciales , cuando estudiaba en la universidad... quisiera confirmar algo que se desprende de lo que escribes, pero no se si llego a la conclusión correcta...el movimiento armonico simple , MAS debe tener dos polos imaginarios es por ello que el seno hiperbolico se puede escribir como

$\sinh x=\dfrac {e^x-e^{-x}}{2}$

y el seno comun como

$\sin x=\dfrac {e^{ix}-e^{-ix}}{2}$

el valor x seria el valor de la parte imaginaria del polo?

[Julián]

Creo que te estás confundiendo, la función $sin (\omega x)$ se escribe de la siguiente manera $\dst \frac{{e}^{i \omega x} - {e}^{- i \omega x}}{2i}$ por la fórmula de euler que surge de aplicar el polinomio de Tayler a las funciones seno y coseno y obtener el mismo desarrollo en su suma que la función exponencial compleja

$\dst {e}^{i \omega x} = cos {\omega x} + i sin (\omega x)$

Puedes leer esto acá y su demostración: https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Euler

Con esto podemos decir que la función exponencial compleja ${e}^{i \omega x}$ es una función armónica ya que su parte real $cos (\omega x)$ y su parte imaginaria $sin (\omega x)$ son funciones armónicas.

El coseno hiperbólico tiene esa forma por definición y no por una relación como el caso anterior. ¿porque se lo llama seno hiperbólico? pues porque cumple con las relaciones análogas al seno y coseno:

$\dst {sin}^{2} (x) + {cos}^{2} =1$$\wedge$ $\dst {sinh}^{2} (x) + {cosh}^{2} =1$
$\dst {sin (x)}{cos(x)} =tan (x)$ $\wedge$ $\dst {sinh (x)}{cosh (x)} =tanh (x)$

y a su vez las relaciones de derivadas $\dst \frac{d}{dx} sinh (x) = cosh(x)$ , etc.

La serie de Tayler es otra forma de expresar una función continua.
Por ejemplo el polinomio o serie de Tayler es una forma de expresar una función mediante series de potencias en un intervalo del dominio con centro en un punto con un factor que es la derivada de la función en dicho punto:

$\dst f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!} {(x-a)}^{2} + ... + \frac{{f}^{n}(a)}{n!} {(x-a)}^{n}$

Sirve en muchos casos cuando se quiere linealizar la función y se toma los primeros 2 términos, dando una aproximación en dicho entorno.

Por ejemplo si tienes un sistema que responde con una respuesta que es $\frac{{e}^{x} - {e}^{-x}}{2}$

Podemos aproximarlo con en un punto por ejemplo en x=1 $f(x) = 1.1752 + 1.54308 (x-1)$ y de esta manera puedes aplicar las propiedades de linealidad que describí anteriormente y por supuesto teniendo en cuanta que esta aproximación tiene un error que es el error de la serie de Taylor

Pero hay otras formas de representar la función y una de ellas es con la transformada de laplace y transformada de fourier (siendo esta un caso particular de la transformada de laplace)

$\dst F (s) = {\int}_{0}^{\infty} f(x) {e}^{-s x} dx$ y como $s =\sigma + i \omega$ entonces la transformada de fourier es $\dst F (i \omega) = {\int}_{- \infty}^{\infty} f(x) {e}^{-i \omega x} dx$

PD: se toma cero en el intervalo inferior de la transformada de laplace porque se considera que lo anterior está dado por las condiciones iniciales.

Luego podemos volver a la función original:

$\dst f (x) = \frac{1}{2 \pi i }{\int}_{{\sigma}_{1} - i\infty}^{{\sigma}_{1} - i \infty}} F(s) {e}^{s x} ds$
$\dst f (x) =\frac{1}{\sqrt{2 \pi} } {\int}_{- \infty}^{\infty} f(x) {e}^{-i \omega x} d$

Así por ejemplo la transformada del sin

$\dst F (s) = {\int}_{0}^{\infty} sin(\omega x) {e}^{-s x} dx= {\int}_{0}^{\infty} (\frac{{e}^{i \omega x} - {e}^{- i \omega x}}{2 i}) {e}^{-s x} dx = \frac{\omega}{{s}^{2} + {\omega }^{2} } = \frac{\omega}{(s + i \omega)( s - i\omega) }$

De esta manera tiene polos conjugados imaginarios. Como lo importante es la función en el dominio x y no en el dominio s, ya que x es el dominio real que generalmente es el tiempo, una vez operada la ecuación diferencial mediante su transformada (ya que es más facil que trabajar con la ecuación diferencial directamente) hay que antitransformar para obtener la respuesta en el dominio x, que generalmente es el dominio temporal. Pero no es necesario ya que en los ceros y polos tenemos la información de que tipo de señal será (como lo he expuesto anteriormente) .

Volviendo, la función sin(x), la transformada tiene dos polos imaginarios conjugados, que como he dicho anteriormente eso implica que el sistema es oscilatorio puro pero es algo tautalógico ya que la transformada inversa (que es la respuesta temporal o en tu caso la respuesta en el dominio x, dandole generalidad) es una señal armónica. Así que ya sabes que si a tu sistema le aplicas un impulso de muy corta duración o en tu caso un valor que se mantiene en un periodo infinitesimal de la variable x el sistema responderá con una respuesta señoidal que perdura en todo el dominio x. Es evidente que en la naturaleza no hay tal sistema sino que la respuesta a un impulso se tiende a extinguir salvo que halla una fuente de energía en dicho sistema de esta manera si calculas la función de transferencia de cualquier sistema tendrá polos complejos conjugados con parte real negativa o polos reales.

Si hacemos la transformada de fourier del seno

$\dst F(i \omega) ={\int}_{- \infty}^{\infty} (\frac{{e}^{i {\omega}_{0} x} - {e}^{- i {\omega}_{0} x}}{2 i}) {e}^{-i \omega x} dx= i \sqrt{\frac{\pi}{2 }} (\delta (\omega - {\omega}_{0}) - \delta (\omega + {\omega}_{0}))$

Por lo que en el dominio de la frecuencia compleja corresponde a 2 impulsos en ${\omega}_{0}$ y $-{\omega}_{0}$

Y su antitransformada, es decir, volviendo del plano de la frecuencia compleja al plano real

$\dst f (x) =\frac{1}{\sqrt{2 \pi} } {\int}_{- \infty}^{\infty} ( i \sqrt{\frac{\pi}{2 }} (\delta (\omega - {\omega}_{0}) - \delta (\omega + {\omega}_{0}))) {e}^{-i \omega x} d\omega = \frac{{e}^{i {\omega}_{0} x} - {e}^{- i {\omega}_{0} x}}{2 i}$

No sé si esa era tu duda. Igualmente cualquier cosa pregunta.

PD: obie la parte de considerar el intervalo de convergencia en la transformada de laplace.

[Richard R Richard]

Gracias por contestar tan rapidamente, en efecto Julian me equivoque al escribir la formula del seno

es $\sin x=\dfrac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ como tu me aclaras

la duda era como sacar los polos y cual era su valor , ya me lo has escrito, en esas formulas no aparecia $\omega$ , y ahora me parece todo mas claro, si me surgen nuevas preguntas paso de nuevo , saludos.