Teorema de Tellegen

[Julián]

Es un teorema fundamental en el análisis de circuito. Considerando que todo circuito con elementos lineales, con parámetros constantes y pasivos, es decir, LTI cuya descripción temporal está dada por una ecuación integro-diferencial que puede ser modelada en una ecuación algebraica mediante la herramienta de la transformada de laplace.

Ahora bien, la potencia en un circuito está dada por:

$\dst p(t) = v(t) i(t)$

Considerando un régimen armónico donde $v(t) = v sen (\omega t + {\theta}_{v})$ y $i(t) = i sen (\omega t + {\theta}_{i}$

La potencia está dada según la siguiente expresión:

$\dst p(t) = \frac{v i }{2} cos ({\theta}_{v} - \frac{v i }{2} {\theta}_{i}) - \frac{1}{2} cos (2 \omega t +{\theta}_{v} + {\theta}_{i})$

Donde observamos un término constante y otro que oscila con 2 veces la frecuencia de la señal, dando la posibilidad de energías positivas (siendo esta la energía que es entregada al circuito) y energías negativas (energía que el circuito entrega). Nuestro interés es la potencia que el circuito consume y para ello

$\dst {P }_{A} = \frac{1}{T} {\int}_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} p(t) dt = \frac{v i }{2} cos ({\theta}_{v} - {\theta}_{i}) = V I cos (\phi)$

Siendo la anterior la potencia activa o promedio. Ahora bien, estamos representado las señales como una combinación lineal de exponenciales complejas mediante la transformada de laplace, es decir, tanto la tensiones como las corrientes tienen la siguiente forma:

$\dst v(t) = {\int}_{- \infty }^{\infty} V(s) {e}^{s t} dt$ y $\dst i(t) = {\int}_{- \infty }^{\infty} I(s) {e}^{s t} dt$

donde ${e}^{st} = {e}^{\sigma t} {e}^{i \omega t}$, siendo esta la función nucleo y $V(s)$ ó $I(s)$ son el peso, es decir cuanto en módulo y fase está implicada en cada exponencial compleja.

Al estar trabajando con señales armónicas no decrecientes en el tiempo ($\sigma =0$).

$\dst {P}_{A} = Re \{ V(s) {I(s)}^{*} \}$

Y la relación entre las magnitudes complejas es:

$z(s) = \frac{V(s)}{I(s)}$ ó $Y(s) = \frac{I(s)}{V(s)}$

Sea un circuito constituido por N elementos resistivos, R elementos capacitivos y L elementos Inductivos. Se define la potencia aparente del circuito como:

$\dst {Z}_{in}(s) {\left\vert{} I\right\vert{}}^{2} = \sum_{k = 1}^{n} {R}_{k} {\left\vert{} {I}_{k} \right\vert{}}^{2} + \sum_{k = 1}^{R} \frac{1}{s {C}_{k}} {\left\vert{} {I}_{k} \right\vert{}}^{2} + \sum_{k = 1}^{l} s {L}_{k} {\left\vert{} {I}_{k} \right\vert{}}^{2}$

como $s = \sigma + i \omega$


$\dst {Z}_{in}(s) = \sum_{k = 1}^{n} {R}_{k} \frac{{\left\vert{} {I}_{k} \right\vert{}}^{2}}{{\left\vert{} I\right\vert{}}^{2}} + \sum_{k = 1}^{R} \frac{\sigma + i \omega}{{\sigma}^{2}+{\omega}^{2}} \frac{1}{ {C}_{k}} \frac{{\left\vert{} {I}_{k} \right\vert{}}^{2}}{{\left\vert{} I\right\vert{}}^{2}} + \sum_{k = 1}^{l} (\sigma + i \omega) {L}_{k} \frac{{\left\vert{} {I}_{k} \right\vert{}}^{2}}{{\left\vert{} I\right\vert{}}^{2}}$

Separando su parte real y parte imaginaria:

$\dst {Z}_{in}(s) = \sum_{k = 1}^{n} {R}_{k} \frac{{\left\vert{} {I}_{k} \right\vert{}}^{2}}{{\left\vert{} I\right\vert{}}^{2}} + \sum_{k = 1}^{R} \frac{\sigma }{{\sigma}^{2}+{\omega}^{2}} \frac{1}{ {C}_{k}} \frac{{\left\vert{} {I}_{k} \right\vert{}}^{2}}{{\left\vert{} I\right\vert{}}^{2}} + \sum_{k = 1}^{l} (\sigma ) {L}_{k} \frac{{\left\vert{} {I}_{k} \right\vert{}}^{2}}{{\left\vert{} I\right\vert{}}^{2}}$ $\dst + i ( \sum_{k = 1}^{R} \frac{ \omega}{{\sigma}^{2}+{\omega}^{2}} \frac{1}{ {C}_{k}} \frac{{\left\vert{} {I}_{k} \right\vert{}}^{2}}{{\left\vert{} I\right\vert{}}^{2}} + \sum_{k = 1}^{l} (\omega) {L}_{k} \frac{{\left\vert{} {I}_{k} \right\vert{}}^{2}}{{\left\vert{} I\right\vert{}}^{2}} )$

De esto deducimos 2 características principales de las impedancia de un circuito:

1) $z(s)$ es real si $s$ es real
2) La parte real de $z(s)$ es mayor o igual a cero si la parte real de $s$ es mayor o igual a cero.

De estos item podemos deducir que todos los polos de la función son reales negativos y si están sobre el eje $i \omega$ son simple con residuos reales.

Si es una red sin pérdida, es decir, donde no existe ningún resistor:


$\dst Z(s) = \sum_{k = 1}^{R} \frac{1}{s {C}_{k}} {\left\vert{} {I}_{k} \right\vert{}}^{2} + \sum_{k = 1}^{l} s {L}_{k} {\left\vert{} {I}_{k} \right\vert{}}^{2}$

¿Qué posibilidad tenemos acá? Pues nada más ni nada menos que poder realizar un circuito que responda a la función que nosotros queramos.

Sea la siguiente función

$\dst F(s)= \frac{{a}_{n}{s}^{n} + {a}_{n-1}{s}^{n-1} +...+ as +{a}_{0}}{{b}_{m}{s}^{m} + {b}_{m-1}{s}^{m-1} +...+ bs +{b}_{0}}$

Ya sabemos que como impedancia o admitancia son funciones reales positivas lo que implica que el grado del denominador y del numerador deben ser tal que $\left\vert{} m -n \right\vert{} \leqslant 1$

De esta manera si expresamos la función en forma binomial:

$\dst F(s) = \frac{s({s}^{2} + {{\omega}_{n}}^{2})...({s}^{2} + {{\omega}_{1}}^{2}))}{({s}^{2} + {{\omega}_{m}}^{2})....({s}^{2} + {{\omega}_{2}}^{2})}$

ó

$\dst F(s) = \frac{({s}^{2} + {{\omega}_{n}}^{2})...({s}^{2} + {{\omega}_{1}}^{2}))}{s ({s}^{2} + {{\omega}_{m}}^{2})....({s}^{2} + {{\omega}_{2}}^{2})}$