Período del péndulo revisited

[KyAlOx]

Cuando hablamos del péndulo simple, decimos que el período es $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$, como demostró Ulises7 en una reciente entrada. También nos han dicho siempre desde pequeños que esto es sólo una aproximación, que el péndulo real tiene un período distinto. Sin embargo, pocas veces se entra a encontrar las correcciones a este resultado. Este artículo pretende mostrar una manera de atacar este problema, mucho menos trivial de lo que puede parecer a priori.

Verdaderamente, el péndulo presenta problemas desde el minuto cero, cuando nos encontramos una ecuación del movimiento como esta:

$m\ddot \phi=-\dfrac{g}{l}sin\phi$

Esta es una ecuación no lineal, con lo que tenemos tres alternativas:

1)salir corriendo y dedicarnos a otra cosa. ¿Un problema como el péndulo ya nos presenta una ecuación tan complicada? Porque tengamos en cuenta que, desarrollando el seno, nos encontramos ante una ecuación tan complicada como esta:

$m\ddot \phi=-\dfrac{g}{l}(\phi-\dfrac{1}{3!}\phi^3+\dfrac{1}{5!}\phi^5-...)$

Así que de entrada podemos olvidarnos de encontrar una solución analítica de manera razonable.

2)Realizar un estudio del espacio de fases usando las técnicas de la dinámica no lineal. Es decir, encontrar puntos fijos del sistema, linealizar entorno a ellos...esta vía es interesante, y puede que la explore en otro momento, pero se escapa del interés de este artículo.

3)Aproximar, aproximar, aproximar. Y es lo que hacemos: sustituimos el seno por el ángulo y todos felices para pequeñas oscilaciones.

Sin embargo, nosotros lo que queremos no es estudiar cómo varía la solución ya conocida bajo dicha aproximación cuando tenemos en cuenta términos más altos del desarrollo, sino simplemente encontrar una expresión más exacta del período.Nuestro primer paso será escribir la energía del sistema, que es una constante del movimiento:

$E=\dfrac{1}{2}m(l\dot\phi)^2+mgl(1-cos\phi)$

Supongamos, sin pérdida de generalidad, que las condiciones iniciales consisten en desplazar un ángulo $\phi_0$ a la masa, sin comunicarle velocidad inicial. Así, la energía inicial (y la de todo momento) es

$E=mgl(1-cos\phi_0)$

Digo sin pérdida de generalidad porque es evidente que cualquier otra condición inicial se puede poner como una de este estilo, poniendo $\phi_0$ en función de los desplazamientos y velocidades iniciales que se desease comunicar.

Así, tenemos, simplificando términos:

$\dfrac{1}{2}l\dot\phi^2+g(1-cos\phi)=g(1-cos\phi_0)$

Ahora, por comodidad de notación, definimos $y\equiv\dfrac{1}{2}\phi$

Teniendo en cuenta

$\sin^2\frac{\phi}{2}=\sin^2y=\dfrac{1-cos\phi}{2}$

Nos queda

$(\dfrac{d\phi}{dt})^2=4\dfrac{g}{l}(sin^2y_0-sin^2y)$

Despejamos el diferencial de tiempo,

$dt=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{l}{g}}\dfrac{d\phi}{(sin^2y_0-sin^2y)^{1/2}}=\dfrac{1}{\omega_0}\dfrac{dy}{(sin^2y_0-sin^2y)^{1/2}}$

La amplitud máxima del movimiento viene dada por la amplitud inicial, $y_0$, así que si integramos ambas expresiones en un período, tendremos a la izquierda precisamente T, mientras que a la derecha tendremos 4 veces la integral de la posición de equilibrio a la amplitud máxima:

$\dst T=\dfrac{4}{\omega_0}\int_0^{y_0}\dfrac{dy}{(sin^2y_0-sin^2y)^{1/2}}$

No paramos aquí de, aparentemente, complicar la notación; definimos la nueva variable $\theta$ mediante la expresión

$sin\theta=\dfrac{siny}{siny_0}\implies cos\theta d\theta=\dfrac{cosy}{siny_0}dy$

Sacando factor común $siny_0$ en la raíz del denominador de la integral, nos queda precisamente $cos\theta$. Sustituyendo el diferencial, se nos van términos, quedándonos (cambiando también los límites de la integral):

$\dst T=\dfrac{4}{\omega_0}\int_0^{\pi/2}\dfrac{d\theta}{(1-sin^2y_0sin^2\theta)^{1/2}}$

Tal vez os suene la forma de esta integral. Resulta que es, sorpresa sorpresa, una integral elíptica de primera especie. Síp, tanto cambio de variable y tanta cosa para llegar a una integral extremadamente complicada de tratar; así os podéis hacer una idea de la envergadura del problema que tratamos.

Fijaos que, hasta ahora, no hemos hecho ninguna aproximación. Hemos escrito la energía, no la ecuación del movimiento, y no hemos supuesto pequeñas oscilaciones. Pero claro, tenemos que meterle mano a la integral elíptica de algún modo. El camino más rápido sería buscar en un libro de tablas o por internet cómo podemos desarrollar la integral; sin embargo, antes de eso, pensemos un poco. Supongamos que las oscilaciones son pequeñas, con lo $sin^2\theta<<1$, de manera que podamos aproximar la integral mediante el desarrollo del binomio,

$(1+x)^{-1/2}=1-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1\cdot3}{2\cdot4}x^2-\dfrac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}x^3...$

Este es desarrollo es válido para $|x|<1$, con lo que podemos aplicarlo a $sin\theta$. Ahora no quedaría más que integrar todos los términos que queramos; habida cuenta la simplificación que hemos hecho, se convierte en un simple problema de cálculo integral, por lo que no creo que sea necesario hacerlas aquí. Además, como he dicho, en cualquier sitio podemos encontrar el valor de la integral elíptica como un desarrollo de términos; por ejemplo, http://es.wikipedia.org/wiki/Integra...rimera_especie . Es inmediato darse cuenta de que el proceso que se ha seguido para llegar a ese valor es el que hemos hecho nosotros; no obstante, me parece interesante haber razonado antes la aproximación de ángulos pequeños.

Bueno, atención, que igual estamos hablando de más. Estrictamente, si ponemos puntos suspensivos (es decir, con infinitos términos), estamos ante una igualdad estricta (valga la redundancia). Hablo de aproximación por ángulos pequeños porque siempre vamos a cortar el desarrollo en un punto, pero entendamos que el desarrollo es totalmente cierto si cogiésemos absolutamente *todos* los términos del desarrollo (no hace falta comentar la imposibilidad de esto).

Ya sea haciendo la integral o sustituyendo el valor que encontramos en la Wiki, nuestro período nos queda de la siguiente forma (la x que usa en la expresión es nuestro $siny_o$):

$T=\dfrac{2\pi}{\omega}(1+(\dfrac{1}{2})^2sin^2y_0+(\dfrac{1\cdot3}{2\cdot4})^2siny^4_0+(\dfrac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6})^2sin^6y_0...)$

Así pues, hemos conseguido la expresión completa del péndulo que nos permite decidir dónde cortar en la aproximación. Evidentemente, el primer término es el ya conocido; los siguientes, para ángulos pequeños, van como el ángulo al cuadrado, a la cuarta, etc, con lo que comprobamos que, efectivamente, la aproximación que llevamos haciendo toda la vida es buena:

$T=\dfrac{2\pi}{\omega}(1+(\dfrac{1}{2})^2(\dfrac{\theta_0}{2})^2+(\dfrac{1\cdot3}{2\cdot4})^2(\dfrac{\theta_0}{2})^4+(\dfrac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6})^2(\dfrac{\theta_0}{2})^6...)$

Por primera vez en todo el desarrollo, aproximamos el seno por el ángulo (deshacemos el cambio de variable hecho y volvemos a nuestro ángulo original). Esta última expresión nos permite cuantificar el error que cometemos tomando simplemente el período como $\dfrac{2\pi}{\omega}$. La primera corrección va como el ángulo (¡en radianes, claro!) al cuadrado, con lo que podemos trabajar en un relativamente amplio rango de ángulos en el cual las correcciones son despreciables.

Un problema en el que es de aplicación directa esta teoría es la de considerar un reloj de péndulo, y valorar cuánto se atrasa o adelanta usando el período habitual respecto a tomar correcciones de mayor orden. Podemos hacer de relojeros y averiguar cuánto habría que acortar la cuerda del péndulo, cada cuánto, etc...pero eso sería otra historia que aquí ya no tiene cabida.

En cualquier caso, como conclusión, me gustaría comentar que lo más interesante de este problema, desde mi punto de vista, no es el sistema en sí, pues las conclusiones no van a ser especialmente relevantes en ningún entorno (salvo para nuestro amigo el relojero, claro). Lo importante es que este tipo de tratamientos, como tantos otros que aparecen en la Mecánica Clásica, son muy frecuentemente usados en otros ámbitos de la Física, y acostumbrarnos a su manejo con sistemas que podemos visualizar de modo sencillo (aparte de tener ecuaciones simples) nos permite coger destreza para luego aplicarlos en problemas "más serios". Integrar el período despejando la energía es habitual; si os pasáis por esa joya en bruto que es el Landau, en particular el tomo de Mecánica, veréis que lo emplea con asiduidad. Sé que aparece en muchos problemas de inversión en scattering, por ejemplo (tal vez no es el período lo que se integra, como aquí, pero el proceso tiene similitudes). Son algo así como "Métodos Físicos para la Física"; nunca vamos a trabajar, como físicos, con muelles y bolitas, por ejemplo, pero nos sirven para modelar infinitud de situaciones.

[SO3]

¿No deberias probar que la solucion es periodica (que en general no lo es,solo cuando la condicion inicial esta "cerca" de los puntos criticos estables, ie, angulo inicial proximo a 0) para integrar el periodo?

[KyAlOx]

Pues tiene usted toda la razón, he integrado muy felizmente sin demostrarlo. Daba por hecho esta solución, pues era lo que interesaba, pero claro, si nos enfrentamos a la ecuación no lineal, hay que hacerlo con todas las de la ley...eso sí, la demostración, al menos como la he dado yo, se escapa un poco al nivel y al objetivo de este artículo (requeriría conocimientos de dinámica no lineal), pero ahí va en cualquier caso.

Edit: Compruebo que me falta un factor m en todas las ecuaciones...en fin, en cualquier caso no cambia para nada el resultado que se pretende demostrar.

Se puede demostrar fácilmente que, para ángulos cercanos al origen, las trayectorias son centros no lineales. Primero de todo adimensionalizaremos la ecuación, definiendo un nuevo tiempo $\tau=\omega t$, con lo que tenemos

$\ddot\theta+sin\theta=0$

Es inmediato pasar al sistema de ecuaciones siguiente,

$\dot\theta=v$

$\dot v=-sin\theta$

Los puntos fijos son $(\theta^*,v^*)=(k\pi,0)$, con k entero; por no haber diferencia física con los demás, nos centraremos en el origen y en $(\pi,0)$.

En el origen, el jacobiano es fácil ver que es

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Como el determinante es positivo y la traza nula, los autovalores del sistema son imaginarios puros, con lo que el origen es un centro lineal (es decir, en puntos muy próximos a él). Sin embargo, esto no demuestra que en el retrato de fases la linealización no nos esté engañando y las trayectorias no sean cerradas. Por suerte, disponemos de un par de teoremas que nos aseguran que en este caso sí nos encontramos ante un centro no lineal (toda la información, por cierto, la estoy sacando de mi libro de cabecera en estos temas, "Nonlinear Dynamics and Chaos" de Strogatz, imprescindible). El más directo dice que si el origen es un centro lineal para un sistema (contínuo, diferenciable) reversible (invariante bajo t->-t, y->-y), entonces las trayectorias suficientemente cercanas al origen son curvas cerradas. Nuestro sistema es evidentemente reversible, $\tau \rightarrow -\tau$, $v \rightarrow -v$, con lo que, en virtud de dicho teorema, las trayectorias suficientemente cercanas al origen son cerradas.

No sería necesario analizar el otro punto fijo; en cualquier caso, es fácil ver que resultan ser puntos silla, con una variedad estable en la dirección (1,-1) y la otra estable según (1,1). Haciendo un dibujo del espacio de fases se podría observar que esas variedades separan las zonas que nos interesan (oscilaciones entorno al equilibrio) de las trayectorias no cerradas, en las que el péndulo se dedica a dar vueltas constantemente.

No sé si este análisis no demasiado exhaustivo será suficiente ^.^U pero bueno, al menos se ha comprobado que el sistema, efectivamente, presenta trayectorias periódicas.

K.