Integración numérica II: La regla de los trapecios

[Metaleer]

En el primer artículo de la serie, se presentaron dos enfoques a la hora de intentar llegar al objetivo que planteaba la integración numérica. En este segundo artículo se va a exponer un método, basado en el primer enfoque, que aproxima la función $f(x)$ a integrar entre $a$ y $b$ por tramos rectilíneos; esta idea aparece de forma natural si recordamos que $\int_a^b f(x) dx$ no es sino el área (con signo) que encierran la gráfica de la función $f(x)$, el eje de abscisas y las rectas $x= a$ y $x = b$. De esta manera, podemos decir que

$$\int_a^b f(x)dx \approx (b-a)\frac{f(a) + f(b)}{2}$$

a la vista de la siguiente figura

Este argumento se puede generalizar, ya que no es necesario coger sólo dos extremos y construir el trapecio que resulta de unir los extremos $f(b)$ y $f(a)$; se puede dividir el intervalo $[a, b]$ en $n$ partes iguales, y aplicar la fórmula (1) a cada uno de los subtrapecios resultantes. En este caso, la situación será algo como la que viene reflejada a continuación

Al aplicar la fórmula (1) a cada uno de los subtrapecios de la figura, tenemos que

$$\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{n} \left[ {f(a) + f(b) \over 2} + \sum_{k=1}^{n-1} f \left( a+k \frac{b-a}{n} \right) \right]$$

donde $n$ es el número de partes en las que se divide el intervalo $[a, b]$. De esta manera, esta división proporciona una partición del intervalo $[a, b]$, a saber: $P = \{x_0, x_1, \ldots, x_n\}$. Utilizando esta nomenclatura, podemos expresar la fórmula (2) de otra forma

$$\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{n} \left(\frac{f(x_0)}{2} + f(x_1) + f(x_2)+\cdots+f(x_{n-1}) + \frac{f(x_n)}{2} \right)$$

Ya tenemos por tanto una expresión que nos da el valor aproximado de una integral definida $\int_a^b f(x)dx$, pero todavía no hemos dado una cota del error que se comete al usar esta aproximación, es decir, un real $\varepsilon > 0$ tal que

$$\text{error} = \left|\frac{b-a}{n} \left[ {f(a) + f(b) \over 2} + \sum_{k=1}^{n-1} f \left( a+k \frac{b-a}{n} \right) \right] - \int_a^b f(x)dx\right| \leq \varepsilon$$

En la bibliografía se demuestra que (en este artículo, $b>a$ siempre)

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para algún $\xi \in [a, b]$. De esta manera, el problema se ha reducido a buscar una cota para el valor absoluto de la segunda derivada en el intervalo $[a, b]$, es decir, un real $K > 0$ tal que

$$K \geq |f''(\xi)|, ~\xi \in [a, b]$$