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como rayos puede ser -1 para que la ecuación se cumpla.Para entenderlo es necesario un conocimiento previo hacerca de los números complejos. Estos números son la combinación del conjunto de los números imaginarios y los números reales. Los imaginarios están relacionados con la letra que equivale a , es decir (donde el signo significa equivalente o por definición).
es la unidad imaginaria, que en analogía (de forma parecida, en el ámbito de los vectores) a los versores, representarían la unidad patrón de uno de los ejes del sistema de coordenadas a utilizar, pues , sería la unidad de los números imaginarios.
Los números complejos se representan igual que los vectores, en un plano, definido por dos rectas perpendiculares entre sí llamadas ejes, en el eje de las abcisas se coloca de manera creciente y proporcional al conjunto de los números reales, mientras que en el eje de las ordenadas se coloca al conjunto de los números imaginarios. Es muy parecido al plano real o vectorial, sólo que en este caso se colocan sobre los dos ejes coordenados números de distinta naturaleza.
En la siguiente imagen se muestra una analogía entre los distintos planos que se forma. Representé cada número con su respectiva unidad patrón.
La unidad en los números reales es el número 1 (uno), es decir para hayar proporcionalidad en una recta real, tendríamos en todo caso que multiplicar al patrón la cantidad de veces que necesitenos para hallar cierta magnitud deseada, en este caso 1 (uno) es el patron, igual pasa a la hora de definir un vector, en un espacio se pueden definir direcciones y sentidos, para ello se han usado a los vectores como magnitud, siendo guiados por sus componentes, y estos a la vez por unas unidades patrones llamodos versores. La suma de vectores se hace sumando las componentes iguales, es decir i con i y j con j, si tenemos dos vectores y , entonces la suma . De igual forma sucede si sumamos dos números complejos, si tenemos igualmente dos números complejos, y , entonces la suma .
Las demás operaciones entre estos conjuntos varían dramáticamente (APARENTEMENTE), por ejemplo el producto entre dos vectores puede definirse de dos formas, una llamada "producto escalar", y la otra "producto vectorial" (para mayor y mejor informacion, allí tienen los links a la Wikipedia), pero el producto, la divición y las demás funciones de números complejos se definen de manera distinta.
Entender la ecuación , requiere saber que esta ecuacion está basada en varias definiciones, por ejemplo el número no es simplement el número 3,14159.........., sinó que representa un ángulo, que puede variar al gusto y capricho del que ha logrado entender esta ecuación.
Vamos hacer unas pequeñas demostraciones para que entiendan a lo que me refiero.
Para definir y/o demostrar el prodcuto escalar he partido de una definición geométrica y axiomática, el concepto se basa en dos casos extremos, y la idea parte de algo muy sencillo, ¿cuanta sombra hará un vector (rojo) sobre otro (azul) si posicionaramos una luz encima, dicha luz debe ser producida por un plano perpendicular a la pantalla de tu ordenador y paralelo al vector azul, axiomáticamente se pueden definir dos casos extremos, el primero se halla si el vector rojo es paralelo a los rayos de luz verde, si se dá el caso límite este vector vá a ser perpendicular al vector azul y vá a formar ángulo recto con respecto a éste, allí no vá haber sombre en absoluto, es decir, la sombra producida es "cero" (sea la operacion definida de la siguiente forma: "¿Cuánta sombra produce un vector sobre otro?"), pero si el vector rojo queda totalmente paralelo al azul, entonces habrá una sombra máxima, si es el caso en que ambos vectores tienen la misma magnitud (como el caso de los vectores unitarios), el vector azul vá a ser el mismo que el rojo: , entonces , el 1 (uno) se debe porque su magnitud es la unidad.
Con estas dos definiciones axiomáticas:
Se puede hacer la siguiente demostración:
Aplicando las definiciones (1) y (2)
, ésto es lo que muchos conocen como el producto escalar. El nacimiento de esta "formula" matemática, tiene como padres la definición (1) y (2), y como abuelos, la simple idea marcada en rojo oscuro arriba mesionada. La naturaleza escalar se dá por la sencilla razón que la magnitud que se quiere medir (la "sombra") no se le puede dar una dirección o un sentido, es como el tiempo, la masa o la temperatura, son magnitudes sometidas a una graduacion puramente numérica.
Así es como logro o se logra ver el producto escalar, la manera de demostrarlo nunca la he visto, así que me perdonan y me CORRIGEN si en esa demostracion cometo errores
.El producto de dos números complejos es mucho mas fácil de demostrar, tenemos que la definicion más usual es la siguiente: en forma de pares ordenados... , pero este menos puede explicarse con esta pequeña demostración: , recordemos que entonces de allí sale el signo menos de la definión que nos muestran en los libros.
Ya basta de tantas demostraciones, ya creo que he mostrado mi punto, de que cada formula o ecuación, nace de una idea geométrica o de la mnera más abstracta, pero con un sentido lógico que la identifica. De igual forma la ecuación , no funciona de manera aislada, ella está basada en varias definiciones geométricas, y demostraciones que pueden encontrarse hasta en la misma Wikipedia.
Como ya mensiononé antes el de la fórmula es un ángulo, y el -1 no es el resultado de un simple despeje como , sinó mas bien, -1 es el resultado de evaluar una expresión que está en funcion de un ángulo, cuando el ángulo es igual a entonces la exprersión vale -1.
Para entender esto geométrica y algebraicamente al mismo tiempo, tenemos primero que ver este pequeño gif, me perdonan por la mala calidad de la imagen, pero el capturador de pantalla no es muy bueno que digamos
.Un vector puede girar de esta forma si y sólo sí sus componentes varían de tal forma que hagan que siga esa trayectoria circular.
En física o geometría, existe una funcion vectorial que está en funcion del tiempo si vas a tratar un problema físico, o de un ángulo si es más geométrico que el antes mensionado, sabemos que esa funcion es ó para el caso geométrico, pero a la final la variable, varía valga la redundancia en los números reales, por lo tanto es la misma, y ambas hacen que el vector describa esa rotación.
Análogamete se puede hacer el mismo efecto de giro para un punto que es representado en el plano complejo, haciendo que siga éste una trayectoria circular.
Como éste es un caso geométrico, la variable x de la ecuación de euler es equivalente por definición a un ángulo que varía y está con respecto al eje X positivo. Los ángulos pueden medirse bajo 3 unidades, la más intuitiva son los grados, la menos está en radianes, en este caso tenemos que usar los ángulos medidos en radianes para que la ecuación sea correcta, pero haciendo uso de la siguiente conversión para un mejor entendimiento: .
Cuando el punto que representa al número complejo comienza a desplazarse sobre la trayectoria, el ángulo que se encuentra en las dos últimas partes de la ecuacion , varía ajustando las componentes del número complejo, para que éste decriba dicha trayectoria circular
Cuando el punto llega a tocar el eje Y positivo, sucede que número porque al evaluar la parte lógica de la de fórmula de Euler (), tenemos que , entonces sabemos que coseno de 90 grados es cero, mientras que el seno vale uno, si seguimos la trayectoria y llegamos a los 180 grados hemos alcanzado el éxito, vemos que fórmula se comvierte en la ecuación , el coseno de ese ángulo llega a ser -1 y pasa todo lo contrario con el seno, es decir, hemos eliminado la parte imaginaria, por lo tanto:
Despejando queda la enigmática ecuación...
Una formula general para definir un complejo de forma exponecial sería: donde , ya que si tomamos un número complejo cualquiera, supongamos uno que esté a 45 grados con respecto al eje X positivo, entonces tenemos que , si tomamos un número entero cualquiera para n, por ejemplo tomamos el -3, entonces vamos a tener que , y el seno como el coseno de ese nuevo ángulo theta va a ser , y todos sabemos que ésto es lo que pasa cuando tenemos un ángulo de 45 grados.
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