Bueno estas son mis notas de cosas de tensores, voy a tratar de hacerlo como una guía para el que necesite el material. Bienvenidas sean las correcciones de parte de ustedes, ya que la taza de errores que cometo por unidad de tiempo es alta, blah blah blah, empieso...

Hasta ahora para mí un tensor es un objeto matematico que generaliza el concepto de escalar, vector y matriz a aplicaciones multilineales, como por ejemplo las transdormaciones lineales, donde las operaciones más comunes entre ellos son practicamente el prodcuto y la suma, esto puede insultar a un matematico porque la definición correcta está a un nivel filosófico, pero tampoco quiero parecer mariposa frente a ustedes, asi que digo la realidad, y la misma es que cuando he trabajado con tensores, lo que he hecho es manipular matrices generalizadas. Hay una notación, para flojos, llamada notación indicial, que según el número de índices que tenga la letra que represente al tensor, entonces ese será el orden del tensor, por ejemplo, un vector se se representa con letras negritas o con una flecha en la parte superior, pero sus conponentes en sí serían una lista ordenada de componentes, por ejemplo la velocidad es (el simbolo , significa "igual o por definición") , que intuitivamente sabemos que los índices y no son más que los ejes coordenados de un sistema de referencia ortonormal ( significa que todos los ejes son ortogonales y la norma o módulo de las unidades patrón valen uno), comúnmente llamado canónico, que significa natural o que es propio del mundo real en que vivimos.

Titulo: Notación Indicial

La notación índicial, algunos la hemos utilizado alguna vez, hablo de cuando hacemos una sumatoria, por ejemplo , si se dan cuenta es una manera de definir un vector, donde los no es más que los unitarios que representan la base vectorial en la cual habita el vector velocidad, esta manera de representar un vector, como la suma de tres cantidades abstractas, es cierto siempre y cuando los vectores unitarios sean linealmente independientes, es decir que cualquier vector que uno quiera que pertenezca a , tiene que poder ser escrito como combinación lineal de los unitarios que definan esa base vectorial. Más adelante veremos que, para que dicha condición se cumpla, los unitarios tienen que definir un volumen en el espacio, es decir, la determinante de cierto arreglo de los unitarios dentro de la matriz, tiene que ser diferente de cero. Con todo esto podemos escribir: , como ven son muchas las notaciones qe se prodrían utilizar para representar vectores, esto presenta un problema si uno decidiera a gusto utilizar varias notaciones distintas en una sola ecuación vectorial.

La notación índicial lo que hace es resumir todas estas formas de representar vectores con una letra y un índice, que el físico o matemático, en su rutina diaria de trabajar con vectores, recordará su significado de manera inmediata, así que todos las formas anteriores se pueden resumir en el simbolo donde puede valer 1, 2 o 3 si vamos a trabajar en el mundo real.

Veamos que sucede con las matrices, que no son más que una tabla naturalmente ordenada, tienen muchas aplicaciones, pero son muy complicadas como para mencionarlas en este momento, una matriz tiene la forma:



Donde cada , cuando toman los valores discretos 1, 2 y 3, son las componentes de la matriz, así como cada eran las componentes del vector velocidad.

Generalizando, se podría decir que una letra simboliza un escalar, con un índice representa un vector, y se podría decir que dos indices representarían una matriz, pero eso no es del todo cierto, ya que en el cálculo tensorial, se ha tomado un convenio propuesto y muy utilizado, por Albert Esinstein.

Titulo: Convenio de sumación de Einstein.

No es más que omitir el signo sumatorio cuando en un monomio se repita 2 veces un mismo índice, indicando su repeticón, el realizar la suma en función de dicho índice.

Si bien pudieramos escribir un vector como , entonces como notarán, lo que hemos hecho es una sumatoria en la cual el índice está repetido dos veces el dicho monomio. Por lo tanto el convenio es omitir el signo de sumatoria, me imgino que por flojera (ya que se dice que Einstein no era muy bueno con las matemáticas, por lo tanto deduzco que era un flojo), y enseguida suponer que hay que relizar la suma en torno a dicho ínidice repetido.

Dichos índices repetidos se les llama "índices mudos" y los que no se repiten se les lama "libres", un índice libre indicará que existen N componentes del arreglo tensorial, donde la posición que ocupaba el índice variará con números naturales.

Por ejemplo en la matriz , el índice varía a lo largo de cada columna de la matriz, por lo tanto dicho índice representa es la fila en la cual se encuentra, mientras que varía es a lo largo de las filas, indicando la columna donde se encuentra la componente del tensor.

Pregunta: Investigar sobre como varían dos tensores de orden 1 multiplicados con índices distintos.
Importante: el número de índices no repetidos dá el orden del tensor.
Sabemos que los vectores son omnipresentes en física, y entre ellos se definen operaciones isomorfas ( significa que se hace o es de igual forma) a la forma de trabajar con escalares, como por ejemplo la suma o la resta, pero hay otras operaciones como el producto, el cual no está definido unívocamente como en los escalares, tenemos el producto vectorial y el producto escalar, cuyas operaciones son tan complejas y de carácter tan axiomático, que se presentan dificultades cuando se usa notación indicial. Si tenemos un vector y otro y queremos representar el producto vectorial o escalar entre ellos, no podemos escribir ó ya que se presentaría un problema con el convenio de sumación de Einstein, lógicamente sabemos que lo que tenemos que hacer es aplicar las reglas memotecnicas como por ejemplo hallar el determinante [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ó , pero la cuestión en sí, es que no cuadran los índices en las ecuaciones vectoriales, por ejemplo hacer el producto escalar entre y resulta un tensor de orden cero, es decir un escalar, pero en las ecuaciones que hagamos, donde el simbolo represente el producto escalar, entonces no vá a coincidir el termino derecho de la ecuacion con el isquierdo, porque de un lado tenenos un escalar, pero del otro lado tenemos, por tener dos índices libre, un tensor de segundo orden, es decir, una matriz. Entonces tiene que haber una forma de contraer ambos vectores de manera que resulte un escalar. Para ello vamos tenemos que recordar como se multiplican matrices. y dicha operacion depuede generalizar.

Si tenemos dos matrices:





Y queremos obtener el producto de ellas dos, tenemos que tomar en cuenta que para que dicho producto esté definido entes ellos, la matriz de la isuierda tiene que tener el mismo número de columnas como filas tiene qe tener la de la derecha, si por ejemplo tenemos una matriz con componentes y otra con componentes, entonces para que se puedan multiplicar entre ellas, con lo cual los inidices tienen que tener componentes respectivamente, y la matriz resultante sería de , lo cual quiere decir que podemos escribir ese producto como , esto en notación matricial sería igual a multiplicar las matrices como se hace convencionalmente, yo particularmente lo que hago es realizar el producto escalar (como lo conocemos) entre cada fila la la primera matriz, y cada columna transpuesta de la segunda, este orden es estricto, porque ya veremos que el producto de matrices no es conmutativo, por ejemplo:



Que sería lo mismo hacer

Donde por la propiedad nos queda: