tarea profesor miguel rodriguez

[natanael]

Classical Electrodynamics
John David Jackson
University Of California, Berkeley


3.6 Two point charges $q$ and $-q$ are located on the $z$ axis at $z=+a$ and $z=-a$, respectively.

(a) Find the electrostatic potential as an expansion in spherical harmonics and powers of $r$ for both $r>a$ and $r<a$.

(b) Keeping the product $qa=p/2$ constant, take the limit of $a\to 0$ and find the potential for $r\neq 0$. This is by definition a dipole along the $z$ axis and its potential.

(c) Suppose now that the dipole of part b is surrounded by a grounded spherical shell of radius $b$ concentric with the origin. By linear superposition find the potential everywhere inside the shell.


Electrodinámica Clásica
John David Jackson
Universidad de California, Berkeley


3.6 Dos cargas puntuales $q$ y $-q$ están localizadas sobre el eje $z$ en $z=+a$ y $z=-a$, respectivamente.

(a) Hallar el potencial electrostático como una expansión en armónicos esféricos y potencias de $r$ tanto $r>a$ como para $r<a$.

(b) Mantenga el producto $qa=p/2$ constante, y tome el límite de $a\to 0$y encontrar el potencial para $r\neq 0$. Esto es por definición el potencial de un dipolo a lo largo del eje $z$.

(c) Supongamos ahora que el dipolo de la parte b está rodeado por una cáscara esférica de radio $b$ conectado a tierra y concentrica con el origen. Por superposición lineal encontrar el potencial en todas partes dentro de la cáscara.

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Introduction to Electrodymanics
David J. Griffiths
Reed College


Problem 4.39 Check the Clausius-Mossotti relation (Eq. 4.72) for the gases listed in Table 4.1 (Dielectric constants are given in Table 4.2.) (The densities here are so small that Eqs. 4.70 and 4.72 are indistinguishable. For experimental data that confirm the Clausius-Mossotti correction term see, for instance, the first edition of Purcell's Electricity and Magnetism, Problem 9.28.)${\,}^{14}$

${\,}^{14}$E. M. Purcell, Electricity and Magnetism (Berkeley Physics Course, Vol. 2), (New York: McGraw-Hill, 1963).


Introdución a la Electrodinámica
David J. Griffiths
Reed College


Problema 4.39 Comprobar la relación de Clausius-Mossotti (Eq. 4.72) para los gases que figuran en la tabla 4.1 (las constantes dieléctricas figuran en la tabla 4.2.) (las densidades aqui son tan pequeñas que las Ec. 4.70 y 4.72 son indistinguibles. Para datos experimentales que confirman la correccion de Clausius-Mossotti vease, por ejemplo, la primera edicion de Purcell's Electricity and Magnetism, Problema 9.28.)${\,}^{14}$

${\,}^{14}$E. M. Purcell, Electricity and Magnetism (Berkeley Physics Course, Vol. 2), (New York: McGraw-Hill, 1963).

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Introduction to Electrodymanics
David J. Griffiths
Reed College


Problem 4.40 The Clausius-Mossotti equation (Prob. 4.38) tells you how to calculate the susceptibility of a nonpolar substance, in terms of de atomic polarizabibility $\alpha$. The Langevin equation tells you how to calculate the susceptibility of a polar substance, in terms of the permanent molecular dipole moment $p$. Here's how it goes:

(a) The energy of a dipole in an external $\vec{E}$ is $u=-\vec{p}\cdot\vec{E}$ (Eq. 4.6); it ranges from $-pE$ to $+pE$, depending on the orientation. Statistical mechanics says that for a material in equilibrium at absolute temperature $T$, the probability of a given molecule having energy $u$ is propotional to the Boltzmann factor,

$exp\left( -u/kT \right)$

The average energy of the dipoles is therefore

$\left< u \right>=\frac{\int ue^{-\left( u/kT \right)}\dd u}{\int e^{-\left( u/kT \right)}\dd u}$

where the integrals run from $-pE$ to $+pE$. Use this to show that the polarization of a substance containing $N$ molecules per unit volume is

$P=Np\left[ \text{coth}\left(pE/kT \right)-\left( kT/pE \right)\right]$.

That's the Langevin formula. Sketch $P/Np$ as a function of $pE/kT$.
(b) Notice that for large fields/low temperatures, virtually all the molecules are lined up, and the material is nonlinear. Ordinarily, however, $kT$ is much greater than $pE$. Show that in this régime the material is linear, and calculate its susceptibility, in terms of $N$, $p$, $T$ and $k$. Compute the susceptibility of water at $20^o\,$, and compare the experimental value in Table 4.2. (The dipole moment of water is $6.1\times 10^{-30}\,C\cdot m.$) This is rather far off, because we have again neglected the distinction between $\vec{E}$ and $\vec{E}_{\text{else}}$ is negligible. Try it for water vapor at $100^0\, C$ at $1\,atm$.


Introdución a la Electrodinámica
David J. Griffiths
Reed College


Problema 4.40. La Ecuacion de Clausius-Mossotti (Prob. 4.38) le indica como calcular la suceptibilidad de una sustancia no polar, en terminos de la polarizabilidad atomica $\alpha$. La ecuacion de Langevin nos dice como calcular la suceptibilidad de una substancia polar, en terminos del momento dipolar permanente molecular $p$. Asi es como funciona:

(a) La energia de un dipolo dentro de un campo externo $\vec{E}$ es $u=-\vec{p}\cdot\vec{E}$ (Ec. 4.6); que varia desde $-pE$ hasta $+pE$, dependiendo de la orientacion. La mecanica estadistica dice que para un material en equilibrio a una temperatura absoluta $T$, la probabilidad de una molecula dada de tener una energia $u$ es proporcional al factor de Boltzmann

$exp\left( -u/kT \right)$

La energia media de los dipolos es entonces:

$\left< u \right>=\frac{\int ue^{-\left( u/kT \right)}\dd u}{\int e^{-\left( u/kT \right)}\dd u}$

Donde las integrales van desde $-pE$ to $+pE$. Use esto para mostrar que la polarización de una sustancia que contiene [TEX] N [/ tex] moléculas por unidad de volumen es:

$P=Np\left[ \text{coth}\left(pE/kT \right)-\left( kT/pE \right)\right]$.

Esa es la fórmula de Langevin. Describe $P/Np$ como una funcion de $pE/kT$.
(b) tenga en cuenta que para grandes campos / bajas temperaturas, prácticamente todas las moléculas se alinean, y el material es no lineal. Ordinariamente, sin embargo, $kT$ es mucho mayor que $pE$. Demostrar que en este régimen el material es lineal y calcular su susceptibilidad, en términos de $N$, $p$, $T$ y $k$. calcular la suceptibilidad del agua a $20^o\,$, y comparar el valor experimental en la Tabla 4.2. (El momento dipolar del agua es $6.1\times 10^{-30}\,C\cdot m.$) esto esta bastante lejos, porque de nuevo no hemos tomado en cuenta que la distincion entre $\vec{E}$ y $\vec{E}_{\text{else}}$ es insignificante. Inténtelo de vapor de agua a $100^0\, C$ a $1\,atm$.

Esa es la fórmula de Langevin. Bosquejo [TEX] P / Np [/ tex] como una función de [TEX] PE / kT [/ tex].
(B) Tenga en cuenta que para los campos grandes / bajas temperaturas, prácticamente todas las moléculas se alinean, y el material es no lineal. Ordinariamente, sin embargo, [TEX] kT [/ tex] es mucho mayor que [TEX] PE [/ tex]. Demostrar que en este régimen el material es lineal y calcular su susceptibilidad, en términos de [TEX] N [/ tex], [tex] p [/ tex], [tex] T [/ tex] y [tex] k [ / tex]. Calcular la susceptibilidad de agua en [TEX] 20 ^ o \ [/ tex], y comparar el valor experimental en la Tabla 4.2. (El momento dipolar del agua es [TEX] 6,1 \ times 10 ^ {-30} \, C \ cdot m. [/ Tex]) Esto es bastante lejos, porque nos hemos olvidado de nuevo la distinción entre [tex] \ vec {E} [/ tex] y [tex] \ vec {E} _ {\ texto {else}} [/ tex] es insignificante. Inténtelo de vapor de agua en [TEX] 100 ^ 0 \, C [/ tex] en [TEX] 1 \, atm [/ tex].