Teorema de las fuerzas vivas

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El teorema de las fuerzas vivas dice que el trabajo de todas las fuerzas (conservativas y no conservativas) que actúan sobre un cuerpo provoca una variación en su energía cinética:

$$\boxed{\dst W_{i \to f}=\Delta E_C=E_C_f - E_C_i}$$

Haremos uso de la definición de trabajo para demostrarlo:

Cuando un cuerpo experimenta un desplazamiento bajo la acción de una fuerza constante decimos que dicho cuerpo realiza un trabajo cuyo valor es

$$\dst W_{i \to f}=\vec F \cdot \Delta \vec r = F \cdot \Delta r \cdot \cos \theta$$

Si la fuerza no es constante hemos de considerar desplazamientos infinitesimales (en los cuales la fuerza es constante) para poder calcular el trabajo

$$\dd W = \vec F \cdot \dd \vec r$$

Si queremos calcular el trabajo realizado cuando se produce un desplazamiento entre dos puntos, debemos hacer la suma de todos los trabajos infinitesimales entre ambos puntos. Por tanto:

$$W_{i \to f} =\int_{i}^{f} \vec F \cdot \dd \vec r$$

Por la 2ª Ley de de Newton sabemos que $\vec F = m\vec a$. Sustituyendo en (3):

$$W_{i \to f} =\int_{i}^{f} m\vec a \cdot \dd \vec r=m\int_{i}^{f} \vec a \cdot \dd \vec r$$

Puesto que $\vec a =\dfrac{\dd \vec v}{\dd t}$:

$$W_{i \to f} =m\int_{i}^{f} \dfrac{\dd \vec v}{\dd t} \cdot \dd \vec r = m\int_{i}^{f} \dfrac{ \dd \vec r}{\dd t} \cdot\dd \vec v$$

Y puesto que $\dfrac{ \dd \vec r}{\dd t} = \vec v$:

$$W_{i \to f} = m\int_{i}^{f} \vec v \cdot\dd \vec v$$

Sea $\vec v \cdot \vec v =v^2$, entonces $\dd (\vec v \cdot \vec v)=\dd v^2 = 2v\dd v$. Además, por la derivada del producto, $\dd (\vec v \cdot \vec v)=2\vec v \cdot \dd \vec v$. Así $2\vec v \cdot \dd \vec v=2v\dd v \Rightarrow \vec v \cdot \dd \vec v=v \dd v$. Sustituyendo en (6):

$$W_{i \to f} = m\int_{i}^{f} v \dd v=m \left[\dfrac{v^2}{2} \right]_i^f=\dfrac 12 m v^2_f - \dfrac 12 m v^2_i$$

Por definición, $E_C=\dfrac 12 mv^2$, por lo que:

$$\boxed{W_{i \to f} =E_C_f - E_C_i = \Delta E_C}$$

QED

Acepto quejas y sugerencias.