Demostración de la energía cinética relativista y la energía de los cuerpos en reposo.

[QED]

A continuación expondré la demostración de la energía cinética relativista.

En la dinámica relativista ahora al momento lineal introducimos el factor de Lorentz ( $\gamma$ ) para que cumpla con las transformaciones de Lorentz.

$$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}$$

$$\displaystyle p = \gamma mv = \dfrac{mv}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}$$

Donde $p$ es el momento lineal, $m$ la masa de una partícula, $v$ la velocidad de una partícula y $c$ la velocidad de la luz en el vacío, aproximadamente $3 \cdot 10^8 \; ms^{-1}$.

Por tanto la diferencia fundamental entre la dinámica clásica y la relativista es que en la segunda introducimos el factor de Lorentz-Fitzgerald con las consecuencias que ello comporta. Hay que destacar el detalle que si la velocidad de una partícula es mucho menor que la de la luz, la mecánica clásica es una muy buena aproximación.


Una vez realizado el comentario ya se puede seguir, es muy mecánica la demostración, comienzo según el teorema de las fuerzas vivas y procedo desarrollando. Es la siguiente:

$$\displaystyle W = \Delta E_c = \int_{0}^{s} F \cdot \dd s = \int_{0}^{s} \dfrac{\dd p}{\dd t} \cdot \dd s = \int_{0}^{p} v \dd \left ( \dfrac{mv}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \right )$$

Ésta integral se resuelve por partes, sólo tenemos que recordar la siguiente regla ( demostrada aquí ):

$$\int u \dd z = uz - \int z \dd u$$

Ahora tenemos en cuenta que: $u = v$ , $\dd u = \dd v$ , $z = \dfrac{mv}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}$, $\dd z = \dd \left ( \dfrac{mv}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \right )$. Por tanto:

$$\displaystyle W = \dfrac{mv^2}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} - \int_{0}^{v} \dfrac{mv}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}\dd v = \dfrac{mv^2}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} - m\int_{0}^{v} \dfrac{v}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}\dd v$$

Ahora realizamos los siguientes cambios por comodidad para resolver la integral: $w = \dfrac{v}{c}$ , $v = wc$ , $\dd v = c\dd w$ . Entonces:

$$\displaystyle W = \dfrac{mv^2}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} - mc^2 \int_{0}^{w} \dfrac{w}{\sqrt{1 - w^2}} \dd w = \dfrac{mv^2}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} + mc^2 \left [ \sqrt{1 - w^2} \right ]_{0}^{w}$$

$$W= \dfrac{mv^2}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} + mc^2 \left [ \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} \right ]_{0}^{v} = \dfrac{mv^2}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} + mc^2 \left ( \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} - 1 \right )$$

$$\displaystyle W = \dfrac{mv^2}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} + mc^2\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} - mc^2$$

$$W = \dfrac{mv^2}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} + mc^2\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} - mc^2 = \dfrac{mv^2 + mc^2 \left (1 - \dfrac{v^2}{c^2} \right )}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} - mc^2$$

$$W =\dfrac{mc^2}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} - mc^2 = \gamma mc^2 - mc^2 = ( \gamma - 1 )mc^2$$

Al final tenemos que el trabajo es:

$$W = ( \gamma - 1 )mc^2$$

Que según el teorema de las fuerzas vivias es igual al incremento de energía cinética de un cuerpo:

$$\boxed{ \Delta E_c = ( \gamma - 1 )mc^2}$$

A continuación expondré una demostración muy relacionada, demasiado corta como para abrir su respectivo hilo pero sin embargo muy famosa y es la:


Demostración de la energía de un cuerpo en reposo:



Expresión de la energía que poseen todas las partículas con masa y que están en reposo.

Para ello particularicemos el caso donde efectuamos un trabajo $W$ en mover una partícula con masa $m$ y donde inicialmente está parada. Tenemos que:

$$W = \Delta E_c = E_c - E_{c0} = ( \gamma - 1 )mc^2$$

Pero como inicialmente su velocidad inicial es nula no tiene energía cinética inicial, asi que:

$$E_c = \gamma mc^2 - mc^2$$

Pero el término $\gamma mc^2$ es la energía total de la partícula ( $E$ ), entonces:

$$E_c = E - mc^2$$

$$E = E_c + mc^2$$

Por tanto si la velocidad de la partícula es 0, su energía cinética seria sero y la energía de cualquier partícula con masa $m$ es:

$$\boxed{ E_0 = mc^2}$$

Llegando por fin a la famosa expresión.




-Demostraciones que se utilizan en el hilo:

Demostración del teorema de las fuerzas vivas.
[B]

Demostración de la integral por partes.


Saludos


Ulises

[Stormkalt]

Hola Ulises:
Antes que nada decirte que la demostración me es muy útil.
Una pregunta: ¿Entonces ya no se pone más $m_0$ para referirse a la masa cuando la velocidad es cero? ¿por qué? ¿se presta a confusión o no está acorde conceptualmente?

¡Saludos!

[Ulises7]

Hola Ulises:
Antes que nada decirte que la demostración me es muy útil.
Una pregunta: ¿Entonces ya no se pone más $m_0$ para referirse a la masa cuando la velocidad es cero? ¿por qué? ¿se presta a confusión o no está acorde conceptualmente?

¡Saludos!

Gracias,

respecto a lo que preguntas pues aquí tienes la respuesta de pod que me dio referente a lo que comentas. Yo lo que he dado de relatividad salia con la 'nomenclatura antigua', así mismo podemos encontrar ésta en algunos sitios como la wikipedia. Pues por lo visto, los físicos teóricos no utilizan la nomenclatura antigua, utilizan poco la masa inercial y sólo utilizan el término 'masa'. Pod en el enlace te explica algunos motivos, como por ejemplo que el término masa inercial es poco claro.

saludos

[Stormkalt]

Gracias Ulises. Voy a interiorizarme al respecto.

¡Salute!