Se entiende por curvatura gaussiana de una superficie a un escalar K que mide la curvatura específica en cada punto regular de una superficie en cuestión. Una forma de calcular la curvatura gaussiana es a partir de los coeficientes de la primera y segunda formas fundamentales.
La curvatura gaussiana es un invariante, lo cual significa que siempre dará el mismo valor independientemente del tipo de parametrización que utilicemos para la superficie. Existe otra forma de medir la curvatura que es mediante la llamada curvatura media. Ésta también es un invariante (en realidad el valor absoluto de la curvatura media lo es) aunque es mucho menos usada (no es famosa, por así decirlo), pues puede demostrarse mediante el Teorema Egregium de Gauss que la curvatura gaussiana se calcula también sólo a partir de los coeficientes de la primera forma fundamental, mientras que la curvatura media utiliza los coeficientes de la segunda forma fundamental. Y esto tiene grandes implicancias pues los coeficientes de la primera forma se mueven en dos dimensiones, sobre la superficie, mientras que los de la segunda forma agregan la tercera dimensión.
Se demostrará que la curvatura gaussiana de una superficie toroidal es:

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Partimos de una parametrización del torus

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Alfa es el ángulo que se mueve por el plano xy, beta el ángulo perpendicular al plano antedicho.
Calculamos las derivadas primeras y segundas, para lo cual usaré la nomenclatura:

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En nuestro particular

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Entonces, las derivadas serán:

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Para simplificar, llamaremos:

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Entonces

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Calculamos el versor normal

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Luego de trabajar un poco más se llega a:

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Calculamos los coeficientes de la primera forma fundamental:

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Y confeccionamos la matriz correspondiente

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Calculamos los coeficientes de la segunda forma fundamental

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Y armamos la matriz correspondiente

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Calculamos los determinantes

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Y obtenemos la curvatura gaussiana para una superficie toroidal

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De aquí se deduce que la curvatura es negativa en el interior del toro, positiva en el exterior, y cero en los puntos de Z máximo y Z mínimo.