Area de una superficie 2D, mediante un cambio de variable

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Obtención del valor del área de una superficie en $\mathbb{R}^2$, meidante un cambio de variable

Queremos conocer el área encerrada por la curva de la figura 1 (izquierda) representada en el sistema de referencia $\dst x-y$ . Para ello haremos un cambio de variable de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$

$$u=u(x,y)$$

$$v=v(x,y)$$

Fig. 1

con lo que la curva queda representada de acuerdo a la figura 1 (derecha). En general se cumple que $\dst A\neq A'$.

En ocasiones será más sencillo realizar integraciones en el sistema de referencias $u-v$ que en el sistema $x-y,$ de modo que de lo que se trata es de demostrar que el valor del area $\dst A$ se puede obtener mediante la integración en $u-v$ de acuerdo a la siguiente igualdad

$$\boxed{A=\int\int_A \dd{x}\dd{y}=\int\int_{A'} J\dd{u}\dd{v}}$$

para ello bastará con demostrar que se cumple la siguiente equivalencia entre diferenciales para el cambio de variable realizado

$$\boxed{\dd{x}\dd{y}=J(u,v)\dd{u}\dd{v}}$$

siendo $J$ el Determinante Jacobiano

$$\boxed{J=\begin{vmatrix}<br /> \frac{\partial{x}}{\partial{u}} & \frac{\partial{y}}{\partial{u}} \\<br /> \frac{\partial{x}}{\partial{v}} & \frac{\partial{y}}{\partial{v}}<br /> \end{vmatrix}}$$

Demostraremos la anterior expresión mediante un procedimiento aproximado; para ello partimos de las funciones inversas del cambio de variable

$$x=x(u,v)$$

$$y=y(u,v)$$

consideramos en $u-v$ la superficie $\dst \Delta A'$ (figura 2) tal que sus lados $\dst \Delta u$ y $\dst \Delta v$ son lo necesariamente pequeños para poder aceptar que su transformación en $x-y$ proporciona, con suficiente aproximación, un paralelogramo de lados $\dst l_1$ y $\dst l_2$.

Fig. 2

Los lados del paralelogramo forman triángulos rectángulos, siendo el valor de sus catetos el indicado en la figura 3

Fig. 3

Mediante geometría elemental se demuestra que el área $\dst \Delta A$ del paralelogramo vale

$$\Delta A=\begin{vmatrix}<br /> (x_a-x_o) & (y_a-y_o) \\<br /> (x_b-x_o) & (y_b-y_o)<br /> \end{vmatrix}$$

si a la curva que forman los lados de la parte superior del paralelogramo la llamamos $f_s$ y a la de los lados inferiores $f_i$, es decir

$$f_s=f_s(x)=l_2 \cup l_4, \qquad f_i=f_i(x)=l_1 \cup l_3$$

entonces el área $\Delta A$ será

$$\Delta A=\int \dd{A}=\int_{x_o}^{x_c}\int_{f_i}^{f_s} \dd{y}\dd{x}$$

$$\dd{A}=\dd{x}\dd{y}$$

La relación entre los vértices en $\dst u-v$ y en $\dst x-y$, tal y como se puede observar en la figura 2, es

$$(u_o,v_o) \longrightarrow (x_o,y_o)$$

$$(u_,v_o) \longrightarrow (x_a,y_a)$$

$$(u_o,v) \longrightarrow (x_b,y_b)$$

desarrollando en serie de Taylor las coordenadas $x$, $y$ de cualquier punto y despreciando los términos de segundo orden y superiores, obtenemos las expresiones generales

$$x(u,v)=x(u_o,v_o)+\frac{\partial{x}}{\partial{u}}(u-u_o) +\frac{\partial{x}}{\partial{v}}(v-v_o)$$

$$y(u,v)=y(u_o,v_o)+\frac{\partial{y}}{\partial{u}}(u-u_o) +\frac{\partial{y}}{\partial{v}}(v-v_o)$$

aplicando (6) y (7) a (4)

$$x_a=x(u,v_o)=x_o+\frac{\partial{x}}{\partial{u}}(u-u_o)$$

$$y_a=y(u,v_o)=y_o+\frac{\partial{y}}{\partial{u}}(u-u_o)$$

aplicando (6) y (7) a (5)

$$x_b=x(u_o,v)=x_o+\frac{\partial{x}}{\partial{v}}(v-v_o)$$

$$y_b=y(u_o,v)=y_o+\frac{\partial{y}}{\partial{v}}(v-v_o)$$

de (8), (9), (10) y (11) obtenemos

$$x_a-x_o=\frac{\partial{x}}{\partial{u}}(u-u_o)=\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\Delta u$$

$$y_a-y_o=\frac{\partial{y}}{\partial{u}}(u-u_o)=\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\Delta u$$

$$x_b-x_o=\frac{\partial{x}}{\partial{v}}(v-v_o)=\frac{\partial{x}}{\partial{v}}\Delta v$$

$$y_b-y_o=\frac{\partial{y}}{\partial{v}}(v-v_o)=\frac{\partial{y}}{\partial{v}}\Delta v$$

Sustituyendo ahora (12), (13), (14) y (15) en el determinante (1)

$$\Delta A=\begin{vmatrix}<br /> \frac{\partial{x}}{\partial{u}}\Delta u & \frac{\partial{y}}{\partial{u}}\Delta u \\<br /> \frac{\partial{x}}{\partial{v}}\Delta v & \frac{\partial{y}}{\partial{v}}\Delta v<br /> \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}<br /> \frac{\partial{x}}{\partial{u}} & \frac{\partial{y}}{\partial{u}} \\<br /> \frac{\partial{x}}{\partial{v}} & \frac{\partial{y}}{\partial{v}}<br /> \end{vmatrix}\Delta u \Delta v$$

en el límite tendremos

$$\dd{A}=\begin{vmatrix}<br /> \frac{\partial{x}}{\partial{u}} & \frac{\partial{y}}{\partial{u}} \\<br /> \frac{\partial{x}}{\partial{v}} & \frac{\partial{y}}{\partial{v}}<br /> \end{vmatrix}\dd{u} \dd{v}$$

y finalmente igualando (2) y(16)

$$\boxed{\boxed{\dd{x}\dd{y}=\begin{vmatrix}<br /> \frac{\partial{x}}{\partial{u}} & \frac{\partial{y}}{\partial{u}} \\<br /> \frac{\partial{x}}{\partial{v}} & \frac{\partial{y}}{\partial{v}}<br /> \end{vmatrix}\dd{u} \dd{v}=J \dd{u}\dd{v}}}$$

Subdemostraciones:

1- Demostración geométrica del valor del área $\Delta A$ [ecuación (1)]
2- Demostración vectorial del valor del área $\Delta A$ [ecuación (1)]
3- Obtención del desarrollo de Taylor para funciones de dos variables [ecuaciones (6) y (7)]
4- Demostración exacta de la relación entre los diferenciales de área [igualdad (17)]


Saludos


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