Demostración del Teorema Egregium de Gauss

[QED]

En 1827, en el libro Disquisitiones generales circa superficies curvas, Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores. Volume VI, pp. Johann Carl Friedrich Gauss desarrolla el teorema conocido como egregio, Egregium, (destacable) que ha tenido notables y trascendentales consecuencias en el desarrollo de la posterior geometría diferencial.
El teorema, en resumidas cuentas, prueba que si dos superficies son isométricas, tienen la misma curvatura total en dos puntos correspondientes.
Se puede interpretar también que en las flexiones de una superficie que no supongan dilatación, ni contracción, se conservará la curvatura total, producto de las curvaturas principales en el punto de referencia.
Dado que en estas flexiones se conservan las distancias, se conservarán también los coeficientes de la primera forma fundamental (tensor métrico). Entonces, se conservará también cualquier ente que dependa de ellos.
Si se prueba que la curvatura gaussiana depende de forma exclusiva de los coeficientes de la primera forma fundamental, quedará por lo tanto probado que dicha curvatura se mantiene invariante en las flexiones.
Se demostrará, entonces, que la curvatura gaussiana se puede calcular a partir de los coeficientes de la primera forma fundamental y de sus derivadas, es decir, del tensor métrico y sus derivadas.

Notación que se usará

$$<br /> \[<br /> \begin{gathered}<br /> \varphi (x) = \varphi (x^1 ,x^2 ) \hfill \\<br /> \varphi _{,i} (x) = \frac{{\partial \varphi (x)}}<br /> {{\partial x^i }} \hfill \\ <br /> \end{gathered} <br /> \]<br />$$

Se pondrá, por comodidad $\[\varphi \]$, en lugar de$\[\varphi (x)\]$. Y en general, mientras no se preste a confusión, se evitará escribir $\[(x)\]$

Definiciones

$$\[<br /> \varphi _{,ij} = \sum\limits_m {\Gamma _{ij}^m \varphi _{,m} } + l_{ij} \eta <br /> \]$$

$$\[<br /> \Gamma _{jk}^i = \sum\limits_m {\left\langle {{\varphi _{,jk} }}<br /> \mathrel{\left | {\vphantom {{\varphi _{,jk} } {\varphi _{,m} }}}<br /> \right. \kern-\nulldelimiterspace}<br /> {{\varphi _{,m} }} \right\rangle } g^{mi} <br /> \]$$

$$\[<br /> \eta _{,i} = - \sum\limits_m {l_i^m } \varphi _{,m} <br /> \]$$

$$\[<br /> l_{ij} = \left\langle {{\varphi _{,ij} }}<br /> \mathrel{\left | {\vphantom {{\varphi _{,ij} } \eta }}<br /> \right. \kern-\nulldelimiterspace}<br /> {\eta } \right\rangle <br /> \]<br />$$

$$\[<br /> g_{ij} = \left\langle {{\varphi _{,i} }}<br /> \mathrel{\left | {\vphantom {{\varphi _{,i} } {\varphi _{,j} }}}<br /> \right. \kern-\nulldelimiterspace}<br /> {{\varphi _{,j} }} \right\rangle <br /> \]<br />$$

$$\[<br /> l_j^i = \sum\limits_m {l_{jm} g^{mi} } <br /> \]$$

$$\[<br /> l_{ij} = \sum\limits_m {l_i^m g_{mj} } <br /> \]<br />$$

$$<br /> \[<br /> g^{ij} = \frac{1}<br /> {{g_{ij} }};\,l_i^j = l_{ij} g^{ij} ;\,l_{ij} = l_i^j g_{ij} <br /> \]<br />$$

Demostración previa

Primero demostraremos que los símbolos de Christoffel de segunda especie dependen de los coeficientes de primera forma fundamental y sus derivadas, lo cual nos servirá al final de la demostración del teorema.

$$<br /> \[<br /> \Gamma _{jk}^i = \frac{1}<br /> {2}\sum\limits_m {\left( {g_{jm,k} + g_{mk,j} - g_{kj,m} } \right)} g^{mi} <br /> \] <br />$$

Para ello, tenemos que demostrar que

$$<br /> \[<br /> \left\langle {{\varphi _{,jk} }}<br /> \mathrel{\left | {\vphantom {{\varphi _{,jk} } {\varphi _{,m} }}}<br /> \right. \kern-\nulldelimiterspace}<br /> {{\varphi _{,m} }} \right\rangle = \frac{1}<br /> {2}\left( {g_{jm,k} + g_{mk,j} - g_{kj,m} } \right)<br /> \]<br />$$

Partimos de las derivadas de los coeficientes de la primera forma:

$$\[<br /> \begin{gathered}<br /> g_{ij} = \left\langle {{\varphi _{,i} }}<br /> \mathrel{\left | {\vphantom {{\varphi _{,i} } {\varphi _{,j} }}}<br /> \right. \kern-\nulldelimiterspace}<br /> {{\varphi _{,j} }} \right\rangle \hfill \\<br /> g_{jm,k} = \left\langle {{\varphi _{,jk} }}<br /> \mathrel{\left | {\vphantom {{\varphi _{,jk} } {\varphi _{,m} }}}<br /> \right. \kern-\nulldelimiterspace}<br /> {{\varphi _{,m} }} \right\rangle + \left\langle {{\varphi _{,j} }}<br /> \mathrel{\left | {\vphantom {{\varphi _{,j} } {\varphi _{,mk} }}}<br /> \right. \kern-\nulldelimiterspace}<br /> {{\varphi _{,mk} }} \right\rangle \hfill \\ <br /> \end{gathered} <br /> \]<br /> <br />$$

$$\[<br /> \begin{gathered}<br /> g_{mk,j} = \left\langle {{\varphi _{,mj} }}<br /> \mathrel{\left | {\vphantom {{\varphi _{,mj} } {\varphi _{,k} }}}<br /> \right. \kern-\nulldelimiterspace}<br /> {{\varphi _{,k} }} \right\rangle + \left\langle {{\varphi _{,m} }}<br /> \mathrel{\left | {\vphantom {{\varphi _{,m} } {\varphi _{,kj} }}}<br /> \right. \kern-\nulldelimiterspace}<br /> {{\varphi _{,kj} }} \right\rangle \hfill \\<br /> g_{kj,m} = \left\langle {{\varphi _{,km} }}<br /> \mathrel{\left | {\vphantom {{\varphi _{,km} } {\varphi _{,j} }}}<br /> \right. \kern-\nulldelimiterspace}<br /> {{\varphi _{,j} }} \right\rangle + \left\langle {{\varphi _{,k} }}<br /> \mathrel{\left | {\vphantom {{\varphi _{,k} } {\varphi _{,jm} }}}<br /> \right. \kern-\nulldelimiterspace}<br /> {{\varphi _{,jm} }} \right\rangle \hfill \\ <br /> \end{gathered} <br /> \]$$

Luego sumamos las dos primeras y restamos a la segunda, teniendo en cuenta la conmutatividad del producto escalar y la simetría de las derivadas segundas; para luego obtener:

$$\[<br /> g_{jm,k} + g_{mk,j} - g_{kj,m} = 2\left\langle {{\varphi _{,jk} }}<br /> \mathrel{\left | {\vphantom {{\varphi _{,jk} } {\varphi _{,m} }}}<br /> \right. \kern-\nulldelimiterspace}<br /> {{\varphi _{,m} }} \right\rangle <br /> \]<br />$$

$$\[<br /> \left\langle {{\varphi _{,jk} }}<br /> \mathrel{\left | {\vphantom {{\varphi _{,jk} } {\varphi _{,m} }}}<br /> \right. \kern-\nulldelimiterspace}<br /> {{\varphi _{,m} }} \right\rangle = \frac{1}<br /> {2}\left( {g_{jm,k} + g_{mk,j} - g_{kj,m} } \right)<br /> \]<br />$$

Lo que demuestra que los símbolos de Christoffel dependen de los coeficientes de la primera forma y sus derivadas.

Demostración del teorema

Partimos ahora de las fórmulas de Gauss y derivamos respecto de k.

$$<br /> \[<br /> \varphi _{,ijk} = \sum\limits_m {\left( {\Gamma _{ij,k}^m \varphi _{,m} } \right)} + \sum\limits_m {\left( {\Gamma _{ij}^m \varphi _{,mk} } \right) + } \,l_{ij,k} \eta + l_{ij} \eta _{,k} <br /> \]<br />$$

Y sabiendo que:

$$\[<br /> \varphi _{,mk} = \sum\limits_l {\left( {\Gamma _{mk}^l \varphi _{,l} } \right)} + l_{ml} \eta <br /> \]$$

$$\[<br /> \eta _{,k} = - \sum\limits_l {\left( {l_k^l \varphi _{,l} } \right)} <br /> \]$$

Sustituimos

$$<br /> \[<br /> \varphi _{,ijk} = \sum\limits_m {\left( {\Gamma _{ij,k}^m \varphi _{,m} } \right)} + \sum\limits_m {\left[ {\Gamma _{ij}^m \sum\limits_l {\left( {\Gamma _{mk}^l \varphi _{,l} } \right)} + \Gamma _{ij}^m l_{mk} \eta } \right] + \,} l_{ij,k} \eta - l_{ij} \sum\limits_l {\left( {l_k^l \varphi _{,l} } \right)} <br /> \]<br /> <br />$$

$$\[<br /> \begin{gathered}<br /> \varphi _{,ijk} = \sum\limits_m {\left( {\Gamma _{ij,k}^m \varphi _{,m} } \right)} + \sum\limits_m {\left[ {\Gamma _{ij}^m \sum\limits_l {\left( {\Gamma _{mk}^l \varphi _{,l} } \right)} } \right] + \sum\limits_m {\left( {\Gamma _{ij}^m l_{mk} \eta } \right)} + \,} l_{ij,k} \eta - l_{ij} \sum\limits_l {\left( {l_k^l \varphi _{,l} } \right)} \hfill \\<br /> \varphi _{,ijk} = \sum\limits_m {\left( {\Gamma _{ij,k}^m \varphi _{,m} } \right)} + \sum\limits_l {\left[ {\sum\limits_m {\Gamma _{ij}^m \left( {\Gamma _{mk}^l \varphi _{,l} } \right)} } \right] + \sum\limits_m {\left( {\Gamma _{ij}^m l_{mk} \eta } \right)} + } \,l_{ij,k} \eta - l_{ij} \sum\limits_l {\left( {l_k^l \varphi _{,l} } \right)} \hfill \\ <br /> \end{gathered} <br /> \]$$

Agrupamos sumatorias cambiando de índice de la primera m=l

$$\[<br /> \varphi _{,ijk} = \sum\limits_l {\left( {\Gamma _{ij,k}^l \varphi _{,l} } \right)} + \sum\limits_l {\left[ {\sum\limits_m {\Gamma _{ij}^m \left( {\Gamma _{mk}^l \varphi _{,l} } \right)} } \right] + \sum\limits_m {\left( {\Gamma _{ij}^m l_{mk} \eta } \right)} + } \,l_{ij,k} \eta - l_{ij} \sum\limits_l {\left( {l_k^l \varphi _{,l} } \right)} <br /> \]<br />$$

$$\[<br /> \varphi _{,ijk} = \sum\limits_l {\left( {\Gamma _{ij,k}^l + \sum\limits_m {\left( {\Gamma _{ij}^m \Gamma _{mk}^l } \right) - l_{ij} l_k^l } } \right)} \varphi _{,l} + \sum\limits_m {\left( {\Gamma _{ij}^m l_{mk} \eta } \right)} + l_{ij,k} \eta <br /> \]$$

$$\[<br /> \varphi _{,ijk} = \sum\limits_l {\left( {\Gamma _{ij,k}^l + \sum\limits_m {\left( {\Gamma _{ij}^m \Gamma _{mk}^l } \right) - l_{ij} l_k^l } } \right)} \varphi _{,l} + \left( {\sum\limits_m {\left( {\Gamma _{ij}^m l_{mk} } \right)} + l_{ij,k} } \right)\eta <br /> \]$$

Análogamente, llegamos a

$$\[<br /> \varphi _{,ikj} = \sum\limits_l {\left( {\Gamma _{ik,j}^l + \sum\limits_m {\left( {\Gamma _{ik}^m \Gamma _{mj}^l } \right) - l_{ik} l_j^l } } \right)} \varphi _{,l} + \left( {\sum\limits_m {\left( {\Gamma _{ik}^m l_{mj} } \right)} + l_{ik,j} } \right)\eta <br /> \]$$

Ahora, como la función es de clase $\[C^k \,con\,k \geqslant 3\]$, las derivadas terceras son simétricas respecto del orden de derivación $\[\varphi _{,ijk} = \varphi _{,ikj} \]$. Y partiendo de una base, los coeficientes deberán ser iguales. Tomamos la igualdad del vector tangente para obtener las ecuaciones de Gauss Codazzi:

$$\[<br /> \Gamma _{ij,k}^l + \sum\limits_m {\left( {\Gamma _{ij}^m \Gamma _{mk}^l } \right) - l_{ij} l_k^l } = \Gamma _{ik,j}^l + \sum\limits_m {\left( {\Gamma _{ik}^m \Gamma _{mj}^l } \right) - l_{ik} l_j^l } <br /> \]$$

$$\[<br /> \Gamma _{ij,k}^l - \Gamma _{ik,j}^l + \sum\limits_m {\left( {\Gamma _{ij}^m \Gamma _{mk}^l } \right) - \sum\limits_m {\left( {\Gamma _{ik}^m \Gamma _{mj}^l } \right)} } = - l_{ik} l_j^l + l_{ij} l_k^l <br /> \]<br />$$

$$\[<br /> \Gamma _{ij,k}^l - \Gamma _{ik,j}^l + \sum\limits_m {\left( {\Gamma _{ij}^m \Gamma _{mk}^l - \Gamma _{ik}^m \Gamma _{mj}^l } \right)} = - l_{ik} l_j^l + l_{ij} l_k^l <br /> \]<br />$$

Multiplicamos ambos miembros por (-1) y llegamos

$$\[<br /> \Gamma _{ik,j}^l - \Gamma _{ij,k}^l + \sum\limits_m {\left( {\Gamma _{ik}^m \Gamma _{mj}^l - \Gamma _{ij}^m \Gamma _{mk}^l } \right)} = l_{ik} l_j^l - l_{ij} l_k^l <br /> \]<br />$$

Análogamente, si tomamos la igualdad de coeficientes del vector normal, obtenemos la expresión de Codazzi Mainardi:

$$\[<br /> \sum\limits_m {\left( {\Gamma _{ik}^m l_{mj} - \Gamma _{ij}^m l_{mk} } \right)} + l_{ij,k} = l_{ij,k} - l_{ik,j} <br /> \]$$

Volviendo unos pasos atrás, obtenemos

$$\[<br /> R_{ijk}^l = \Gamma _{ik,j}^l - \Gamma _{ij,k}^l + \sum\limits_m {\left( {\Gamma _{ik}^m \Gamma _{mj}^l - \Gamma _{ij}^m \Gamma _{mk}^l } \right)} <br /> \]<br />$$

$$\[<br /> R_{ijk}^l = l_{ik} l_j^l - l_{ij} l_k^l <br /> \]<br />$$

Multiplicamos ambios miembros por

$$\[<br /> \sum\limits_l {g_{lm} } <br /> \]$$

$$\[<br /> \sum\limits_l {R_{ijk}^l g_{lm} } = l_{ik} \sum\limits_l {l_j^l } g_{lm} - l_{ij} \sum\limits_l {l_k^l } g_{lm} <br /> \]$$

$$\[<br /> \sum\limits_l {R_{ijk}^l g_{lm} } = l_{ik} l_{jm} - l_{ij} l_{km} <br /> \]<br />$$

Haciendo

$$\[<br /> \begin{gathered}<br /> i = k = 1 \hfill \\<br /> j = m = 2 \hfill \\ <br /> \end{gathered} <br /> \]$$

$$\[<br /> \sum\limits_l {R_{121}^l g_{l2} } = l_{11} l_{22} - l_{12} l_{21} <br /> \]$$

$$\[<br /> \sum\limits_l {R_{121}^l g_{l2} } = DetL<br /> \]$$

Sabiendo que el determinante de L es el producto del determinante de G por la curvatura gaussiana:

$$\[<br /> K = \frac{{\sum\limits_l {R_{121}^l g_{l2} } }}<br /> {{DetG}}<br /> \]$$

Lo cual demuestra el teorema, pues el tensor de curvatura de Riemann depende de los coeficientes de la primera forma fundamental y de los símbolos de Christoffel de segunda especie , los cuales dependen también de la métrica de g y de sus derivadas (como se demostró al principio).

¡Salud y gracias por leer!

[angel relativamente]

Saludos stormkalt. Independientemente de que no entiendo nada (no porque este mal sino porque excede mi nivel), quería comentarte que, en las primeras ecuaciones que pones en latex donde haces entre paréntesis una aclaración "(formula de gauss, simbolos de christoffel...)", algunos se superponen en las fórmulas... Al menos yo lo veo así.
Saludos!

[Stormkalt]

Hola Ángel:

Qué raro, a mí no me pasa. Tal vez sea un problema de configuración de la resolución del monitor.
Saludos!