Identidades trigonométricas: ángulo doble y triple

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A continuación demostraremos las identidades trigonométricas para el seno, conseno y tangente del ángulo doble y triple (en este orden).

Antes de nada, para poder entender algunas de las demostraciones debemos conocer la fórmula de Moivre. Esta es una fórmula que sirve para expresar un número complejo en forma binómica (partiendo de uno en forma polar por supuesto), y nos será de gran ayuda. Moivre dice que, sea un número complejo en forma polar $z_\alpha$:

$(z_\alpha)^n=\left\vert{} z^n \right\vert{} (cos(\alpha)+i sin(\alpha))^n=\left\vert{} z^n \right\vert{}(cos(n\alpha)+i sin(n\alpha))$

A parte también hay que conocer la identidad fundamental $sin^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1$ y otras relaciones básicas. Teniendo todo esto en cuenta podemos proceder con las demostraciones.

Ángulo doble

$\underline{sin(2\alpha)}$

Para el seno del ángulo doble lo más sencillo es seguir sustituyendo en el seno de la suma de dos ángulos. Ahora tenemos:

$sin(2\alpha)=sin(\alpha+\alpha)=sin(\alpha)cos(\alpha)+sin(\alpha)cos(\alpha)$

$\boxed{sin(2\alpha)=2sin(\alpha)cos(\alpha)}$

$\underline{cos(2\alpha)}$

Para el coseno del ángulo doble hacemos lo mismo que para el seno del ángulo doble.

$cos(2\alpha)=cos(\alpha+\alpha)=cos(\alpha)cos(\alpha)-sin(\alpha)sin(\alpha)$

$\boxed{cos(2\alpha)=cos^2(\alpha)-sin^2(\alpha)}$

$\underline{tan(2\alpha)}$

Seguimos con el mismo procedimiento; sustituir.

$tan(2\alpha)=tan(\alpha+\alpha)=\displaystyle\frac{tan(\alpha)+tan(\alpha)}{1-tan(\alpha)tan(\alpha)}$

$\boxed{tan(2\alpha)=\displaystyle\frac{2tan(\alpha)}{1-tan^2(\alpha)}}$

Ángulo triple

$sin(3\alpha)$ y $cos(3\alpha)$

Para demostrar el seno y coseno del ángulo triple podemos hacerlo de dos formas. La primera es sustituyendo (como para no esperárselo). Esta es la más larga pero da resultado. Decimos que:

$sin(3\alpha)=sin(\alpha+2\alpha)$ y $cos(3\alpha)=cos(\alpha+2\alpha)$

Y a partir de ahí continuamos. Desarrollamos la suma de ángulos, después el ángulo doble, y así hasta acabar. Esta, personalmente, me parece algo aburrida. Creo que es mucho más interesante seguir demostrándola con números complejos y para ello volvemos a vernos las caras con la fórmula de Moivre. Para ello hacemos lo siguiente. Tomamos un número complejo como este:

$z_3=1_\alpha$

Lo elevamos al cubo y lo expresamos en forma binómica:

$(z_3)^3=(1_\alpha)^3=(cos(\alpha)+i sin(\alpha))^3=cos(3\alpha)+i sin(3\alpha)$

Ahora para poder continuar tenemos que desarrollar ese bionomio e igualar el resultado real con la parte real y el imaginario con la parte imaginaria.

$(cos(\alpha)+i sin(\alpha))^3=\sum_{k = 0}^3 {3 \choose k} cos(\alpha)^{3-k} i sin(\alpha)^k=$
$=cos^3(\alpha)+3cos^2(\alpha)\cdot i sin(\alpha) + 3cos(\alpha) \cdot (i sin(\alpha))^2+ (i sin(\alpha))^3$

$cos^3(\alpha)-3cos(\alpha)sin^2(\alpha)+i(3cos^2(\alpha)sin(\alpha)-sin^3(\alpha))=$$(cos(\alpha)+i sin(\alpha))^3=cos(3\alpha)+i sin(3\alpha)$

$\boxed{sin(3\alpha)=3sin(\alpha)cos^2(\alpha)-sin^3(\alpha)=3sin(\alpha)-4sin^3(\alpha)}$

$\boxed{cos(3\alpha)=cos^3(\alpha)-3cos(\alpha)sin^2(\alpha)=4cos^3(\alpha)-3cos(\alpha)}$

Y así podríamos demostrar el seno y conseno de $4\alpha$, $5\alpha$, $6\alpha$, etc. Siempre con el mismo método.

$\underline{tan(3\alpha)}$

Para deducir la tangente del ángulo triple podríamos hacer el cociente entre el seno del ángulo triple y el coseno del ángulo triple, pero en este caso es mucho más sencillo descomponer $3\alpha=\alpha+2\alpha$ y desarrollar las identidades correspondientes.

$tan(3\alpha)=tan(\alpha+2\alpha)=\displaystyle\frac{tan(\alpha)+tan(2\alpha)}{1-tan(\alpha)tan(2\alpha)}=\displaystyle\frac{tan(\alpha)+\displaystyle\frac{2tan(\alpha)}{1-tan^2(\alpha)}}{1-tan(\alpha)\cdot \displaystyle\frac{2tan(\alpha)}{1-tan^2(\alpha)}}$

$\boxed{tan(3\alpha)=\displaystyle\frac{3tan(\alpha)-tan^3(\alpha)}{1-3tan^2(\alpha)}}$