Identidades trigonométricas: ángulo mitad

[QED]

A continuación demostraremos las identidades trigonométricas para el seno, conseno y tangente del ángulo mitad (en este orden).

Ángulo mitad

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Para demostrar el seno del ángulo mitad lo primero que haremos será un cambio de variable. Diremos que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y a partir de aquí trabajaremos con el coseno del ángulo doble. (Usaremos el coseno porque la demostración sale mucho más sencilla)

$cos(2t)=cos^2(t)-sin^2(t)$

Ahora, haciendo uso de la identidad fundamental $sin^2(t)+cos^2(t)=1$, decimos que:

$cos(2t)=1-sin^2(t)-sin^2(t)$
$1-cos(2t)=2sin^2(t)$
$sin^2(t)=\displaystyle\frac{1-cos(2t)}{2}$
$sin(t)=\pm \sqrt{\displaystyle\frac{1-cos(2t)}{2}}$

Y, si desacemos el cambio de variable:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Para esta demostración haremos exactamente lo mismo que para la demostración del seno del ángulo doble. Haremos el mismo cambio de variable ([Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ) y procederemos con el coseno del ángulo doble.

$cos(2t)=cos^2(t)-sin^2(t)$

Ahora también usaremos la identidad fundamental ($sin^2(t)+cos^2(t)=1$) pero, en vez de sustituir el coseno, sustutuiremos el seno:

$cos(2t)=cos^2(t)-1+cos^2(t)$
$1+cos(2t)=2cos^2(t)$
$cos^2(t)=\displaystyle\frac{1+cos(2t)}{2}$
$cos(t)=\pm \sqrt{\displaystyle\frac{1+cos(2t)}{2}}$

Y si desacemos el cambio de variable:

$\boxed{cos(\displaystyle\frac{\alpha}{2})=\pm \sqrt{\displaystyle\frac{1+cos(\alpha)}{2}}}$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Para demostrar la tangente del ángulo mitad haremos uso de su definición más básica, como hemos ido haciendo para todas las tangentes, $tan(\alpha)=\displaystyle\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] $\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1-cos(\alpha)}{2}}{\displaystyle\frac{1+cos(\alpha)}{2}}=$$\displaystyle\frac{1-cos(\alpha)}{1+cos(\alpha)}$

$\boxed{tan(\displaystyle\frac{\alpha}{2})=\pm \sqrt{\displaystyle\frac{1-cos(\alpha)}{1+cos(\alpha)}}}$