Cinemática: fórmulas del MCU y MCUA

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En este artículo demostraremos las fórmulas del movimiento de un cuerpo por una trayectoria circular, tanto si te trata de un movimiento uniforme o uniformemente acelerado. Algunas demostraciones en cinemática suelen ser algo complicadas, pero yo intentaré demostrarlas de la forma más sencilla posible.

MCU y MCUA

Las fórmulas del MCU y MCUA tienen dos maneras de expresarse. La primera es la más sencilla y, creo yo, la más utilizada. Estas fórmulas son: (Siendo $\varphi$ espacio angular, $t$ tiempo, $\omega$ velocidad angular y $\alpha$ aceleración angular) (Con las fórmulas de MCU y MCU siempre se trabaja en radianes)

MCU:

$\boxed{\varphi=\varphi_0+\omega\Delta t}$

MCUA:

$\boxed{\varphi=\varphi_0+\omega_0\Delta t+\frac{1}{2}\alpha \Delta t^2}$

$\boxed{\omega=\omega_0+\alpha\Delta t}$

Si te fijas, las fórmulas son idénticas a las del MRU y MRUA. Lo único que cambian son las formas de expresar el espacio, la velocidad y la aceleración. Antes eran magnitudes lineales, ahora son magnitudes angulares pero esto no cambia nada, pues la forma de demostrarlas es exáctamente igual que en el MRU y MRUA.

La segunda forma de expresar el MCU y el MCUA es mediante vectores. Dado que un círculo es un sistema bidimensional, un cuerpo recorriendo una trayectoria circular se mueve en 2 dimensiones y su trayectoria se puede analizar mediante vectores.

Antes de comenzar la demostración echa un ojo a la siguiente figura. En ella se muestra la posición de un cuerpo en MRU/MRUA con respecto al ángulo con la horizontal. Nos ayudará en la demostración:

Como puedes ver, la posición ($\vec{r}$) de un cuerpo A viene determinada por:

$\vec{r}=R\cdot cos(\varphi) \hat{\imath}+ R\cdot sin (\varphi)\hat{\jmath}$

Ahora, como el MCU/MCUA es idéntico al MRU/MRUA sólo que con dimensiones angulares, podemos decir también que:

$\omega=\displaystyle\frac{\Delta \varphi }{\Delta t}$

$\Delta \varphi=\omega\Delta t$

$\Delta \varphi$ no tiene sentido si queremos determinar la posición mediante magnitudes vectoriales, y tampoco lo tiene $\Delta t$. Esto es porque si mantuviésemos estos incrementos nos encontraríamos con la suma del espacio inicial al espacio final en la ecuación del espacio angular final y esto no puede ser ya que las funciones seno y coseno tienen un rango limitado. Así que reescribirmos la ecuación y tenemos:

$\varphi=\omega\ t$

Si ahora sustituimos el ángulo en la ecuación de posición tenemos la ecuación de la posición para el MCU:

$\boxed{\vec{r}=R\cdot cos(\omega\ t) \hat{\imath}+ R\cdot sin (\omega\ t)\hat{\jmath}}$

Y si queremos adaptar esta expresión para que nos muestre la posición de un cuerpo en MCUA sólo tenemos que considerar la velocidad angular como una magnitud variable. Así decimos que:

$\omega=\omega_0+\alpha\Delta t$

Y, sustutiyendo:

$\vec{r}=R\cdot cos((\omega_0+\alpha t) t) \hat{\imath}+ R\cdot sin ((\omega_0+\alpha t )t)\hat{\jmath}$

$\boxed{\vec{r}=R\cdot cos(\omega_0 t+\alpha t^2) \hat{\imath}+ R\cdot sin (\omega_0 t+\alpha t^2)\hat{\jmath}}$

A partir de aquí seguir demostrando las ecuaciones del MCU/MCUA con magnitudes vectoriales tiene poca utilidad. Pero, de todas formas hallarlas es muy sencillo. Lo primero que se tiene que hallar es el módulo y para ello ya tenemos las ecuaciones de MCU/MCUA que mencioné las primeras. A partir de aquí sólo nos queda saber la dirección del vector, y para ello tenemos que hallar el ángulo que forma con la horizontal. Fíjate en la siguiente figura:

Utilizando el teorema de la doble perpendicular vemos como trasladamos el ángulo $\varphi$ y vemos como queda $90-\varphi =\frac{\pi}{2}-\varphi$ como el ángulo que forma la recta tangente, sobre la que se posicionan los vectores velocidad y aceleración, con la horizontal. (Realmente no hacía falta hacer el teorema de la doble perpendicular, pues ya se tiene un triángulo rectángulo)

Ahora, tendiendo en cuenta que:

$v=R\cdot \omega$ . . . . . . . . .$a=R \cdot$ $\alpha$

Podemos decir que dichos vectores pueden expresarse como:

MCU:

$\vec{v }=v\cdot cos(\frac{\pi}{2}-\varphi)\hat{\imath}+v \cdot sin(\frac{\pi}{2}-\varphi)\hat{\jmath}$

$\boxed{\vec{v }=R\cdot \omega\cdot sin(\omega\ t)\hat{\imath}+R\cdot \omega \cdot cos(\omega\ t)\hat{\jmath}}$

MCUA:

$\vec{v }=v\cdot cos(\frac{\pi}{2}-\varphi)\hat{\imath}+v \cdot sin(\frac{\pi}{2}-\varphi)\hat{\jmath}$

$\boxed{\vec{v }=R\cdot (\omega_0+\alpha t)sin(\varphi)\hat{\imath}+R\cdot (\omega_0+\alpha t)cos(\varphi)\hat{\jmath}}$

$\vec{a}=a\cdot cos(\frac{\pi}{2}-\varphi)\hat{\imath}+a\cdot sin(\frac{\pi}{2}-\varphi)\hat{\jmath}$

$\boxed{\vec{a}=R\cdot \alpha \cdot sin(\varphi)\hat{\imath}+R\cdot \alpha \cdot cos(\varphi)\hat{\jmath}}$