Identidades trigonométricas: sumas a productos

[QED]

A continuación demostraremos las identidades trigonométricas para el seno y coseno del paso de sumas a productos (en este orden).

Sumas a productos

$\underline{sin(A)+sin(B)}$

Para esta suma de senos usaremos la definición del seno de la suma de dos ángulos que ya conocemos. Para ello diremos que:

$\left.\begin{tabular}{l}<br /> sin(\alpha+\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)+sin(\beta)cos(\alpha) \\<br /> sin(\alpha-\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)-sin(\beta)cos(\alpha)<br /> \end{tabular}\right\}$

Sumamos este sistema y obtenemos:

$sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)=$$sin(\alpha)cos(\beta)+sin(\beta)cos(\alpha)sin(\alpha)cos(\beta)-sin(\beta)cos(\alpha)=$$2sin(\alpha)cos(\beta)$

Y, por último, decimos que:

$\left.\begin{tabular}{l}<br /> \alpha+\beta=A \\<br /> \alpha-\beta=B<br /> \end{tabular}\right\}$

$\alpha=\displaystyle\frac{A+B}{2}$ y $\beta=\displaystyle\frac{A-B}{2}$

Así que, si sustutiimos, tenemos que:

$\boxed{sin(A)+sin(B)=2sin\left(\displaystyle\frac{A+B}{2}\right)cos\left(\displaystyle\frac{A-B}{2}\right)}$

$\underline{sin(A)-sin(B)}$

Esta demostración es sencilla si se tiene en cuenta la anterior, puesto que:

$sin(A)-sin(B)=sin(A)+sin(-B)$

Entonces, con una sustitución directa de B por -B tenemos que:

$\boxed{sin(A)-sin(B)=2sin\left(\displaystyle\frac{A-B}{2}\right)cos\left(\displaystyle\frac{A+B}{2}\right)}$

$\underline{cos(A)+cos(B)}$

Para la demostración de la suma de cosenos emplearemos el mismo método que para la suma de senos. Con los mismos cambios y operaciones.

$\left.\begin{tabular}{l}<br /> cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta) \\<br /> cos(\alpha-\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)+sin(\alpha)sin(\beta)<br /> \end{tabular}\right\}$

Sumamos este sistema y obtenemos:

$cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)=2cos(\alpha)cos(\beta)$

Y, por último, decimos que:

$\left.\begin{tabular}{l}<br /> \alpha+\beta=A \\<br /> \alpha-\beta=B<br /> \end{tabular}\right\}$

$\alpha=\displaystyle\frac{A+B}{2}$ y $\beta=\displaystyle\frac{A-B}{2}$

Así que, si sustutiimos, tenemos que:

$\boxed{cos(A)+cos(B)=2cos\left(\displaystyle\frac{A+B}{2}\right)cos\left(\displaystyle\frac{A-B}{2}\right)}$

$\underline{cos(A)-cos(B)}$

Seguimos igual. Utilizamos el mismo sistema y las mismas sustituciones que en la demostración anterior.

$\left.\begin{tabular}{l}<br /> cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta) \\<br /> cos(\alpha-\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)+sin(\alpha)sin(\beta)<br /> \end{tabular}\right\}$

Ojo, que ahora se resta el sistema para obtener:

$cos(\alpha+\beta)-cos(\alpha-\beta)=-2sin(\alpha)sin(\beta)$

Y, por último, decimos que:

$\left.\begin{tabular}{l}<br /> \alpha+\beta=A \\<br /> \alpha-\beta=B<br /> \end{tabular}\right\}$

$\alpha=\displaystyle\frac{A+B}{2}$ y $\beta=\displaystyle\frac{A-B}{2}$

Así que, si sustutiimos, tenemos que:

$\boxed{cos(A)-cos(B)=-2sin\left(\displaystyle\frac{A+B}{2}\right)sin\left(\displaystyle\frac{A-B}{2}\right)}$