A continuación demostraremos las identidades trigonométricas para el seno y coseno del paso de sumas a productos (en este orden).

Sumas a productos



Para esta suma de senos usaremos la definición del seno de la suma de dos ángulos que ya conocemos. Para ello diremos que:



Sumamos este sistema y obtenemos:



Y, por último, decimos que:



y

Así que, si sustutiimos, tenemos que:





Esta demostración es sencilla si se tiene en cuenta la anterior, puesto que:



Entonces, con una sustitución directa de B por -B tenemos que:





Para la demostración de la suma de cosenos emplearemos el mismo método que para la suma de senos. Con los mismos cambios y operaciones.



Sumamos este sistema y obtenemos:



Y, por último, decimos que:



y

Así que, si sustutiimos, tenemos que:





Seguimos igual. Utilizamos el mismo sistema y las mismas sustituciones que en la demostración anterior.



Ojo, que ahora se resta el sistema para obtener:



Y, por último, decimos que:



y

Así que, si sustutiimos, tenemos que: