Cinemática: fórmulas del MRU y MRUA

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En este artículo demostraremos las fórmulas del movimiento de un cuerpo por una trayectoria rectilínea, tanto si te trata de un movimiento uniforme o uniformemente acelerado. Algunas demostraciones en cinemática suelen ser algo complicadas, pero yo intentaré demostrarlas de la forma más sencilla posible.

Antes de nada, para demostrar las fórmulas de cinemática, hay que tener presente las expresiones más básicas de todas. Estas son: (Siendo $s$ espacio, $t$ tiempo, $v$ velocidad y $a$ aceleración)

$v=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}$ . . . . . . . . . $a=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}$

MRU

El MRU se compone de una sola fórmula significativa muy fácil de demostrar (dado que su velocidad es constante y su aceleración nula). Esta es:

$s=s_0+v\Delta t$

Para demostrarla utilizaremos la expresión de la velocidad:

$v=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=\displaystyle\frac{s-s_0}{\Delta t}$

Si multiplicamos ambos miembros por el incremento del tiempo ($\Delta t$) tenemos que:

$v\Delta t=s-s_0$

$\boxed{s=s_0+v\Delta t}$

MRUA

El MRUA se compone de dos fórmulas significativas ya que ahora la velocidad del cuerpo no es constante. Estas dos fórmulas son:

$$v=v_0+a\Delta t$$

$$x=x_0+v_0 \Delta t + \frac{1}{2}a \Delta t^2$$

Para demostrar (1) utilizaremos la expresión de la aceleración mencionada el principio. Así tenemos:

$a=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=\displaystyle\frac{v-v_0}{\Delta t}$

Si multiplicamos ambos miembros por el incremento de tiempo ($\Delta t$) tenememos:

$a\Delta t=v-v_0$

$\boxed{v=v_0+a\Delta t}$

Para demostrar (2) utilizaremos una combinación de una de las fórmulas ya demostradas y otra que se presenta a continuación. En muchas ocasiones esta fórmula se demustra con integrales y esa es propiamente la demostración completa y formal, pero me parece que para deducirla más fácilmente podemos hacerlo también así:

Sabemos que en un MRUA el espacio se puede definir así:

$\Delta s=\left(\displaystyle\frac{v+v_0}{2}\right)\Delta t$

Esta expresión no es más que la velocidad media durante un periodo de tiempo multiplicada por ese periodo de tiempo. Si te fijas el área bajo la curva sigue siendo la misma y, por tanto, el espacio que se recorre también es el mismo. Si aun no lo entiendes lo puedes ver en las figuras siguientes:

A partir de aquí ya podemos continuar.

Entonces, teniendo en cuenta la fórmula anterior, también sabemos que:

$v=v_0+a\Delta t$

Y si introducimos esta expresión tenemos que:

$\Delta s=\left(\displaystyle\frac{v_0+a\Delta t+v_0}{2}\right)\Delta t$

$s-s_0=\left(\displaystyle\frac{2v_0+a\Delta t}{2}\right)\Delta t$

$s-s_0=(v_0+\frac{1}{2}a\Delta t)\Delta t$

$s-s_0=v_0 \Delta t + \frac{1}{2}a\Delta t^2$

$\boxed{s=s_0+v_0 \Delta t + \frac{1}{2}a\Delta t^2}$

[0aps]

Pregunta: ¿la gráfica no estaría mal hecha? quizá lo entendí mal pero la primera se supone que se refiere a una gráfica velocidad-tiempo y la segunda aceleración-tiempo ? si es así, la aceleración es siempre 1.5 pero en la gráfica velocidad-tiempo la velocidad cambia 0.5 cada segundo. ¿no estaría mal? Sé que algo estoy entendiendo mal, ¿qué es?