Identidades trigonométricas: productos a sumas

[QED]

A continuación demostraremos las identidades trigonométricas para el seno y conseno del paso de productos a sumas (en este orden).

Productos a sumas

$\underline{cos(\alpha)cos(\beta)}$

Para descomponer este producto de cosenos en una suma de cosenos debemos fijarnos bien y darnos cuenta de un detalle sutil. Nota que:

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Si ahora sumamos esas dos identidades nota que $sin(\alpha)sin(\beta)$ desaparace y quedamos prácticamente con la ecuación del principio:

$cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)=$$cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)+cos(\alpha)cos(\beta)+sin(\alpha)sin(\beta)=$$2cos(\alpha)cos(\beta)$

Ahora sólo nos queda dividir la ecuación entre 2 y acabamos con el producto que queríamos demostrar:

$\displaystyle\frac{2cos(\alpha)cos(\beta)}{2}=\displaystyle\frac{cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)}{2}$

$\boxed{cos(\alpha)cos(\beta)=\displaystyle\frac{cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)}{2}}$

$\underline{sin(\alpha)sin(\beta)}$

Esta identidad también se demustra prácticamente igual que la anterior. También usaremos las fórmulas de la suma de ángulos del coseno, pero ahora las restaremos en vez de sumarlas.

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Si las restamos tenemos que:

$cos(\alpha+\beta)-cos(\alpha-\beta)=$$cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)-cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)=$$-2sin(\alpha)sin(\beta)$

Si ahora apañamos ese $-2$ para que la expresión quede equivalente a la que queremos demostrar tenemos:

$\displaystyle\frac{-2sin(\alpha)sin(\beta)}{-2}=\displaystyle\frac{cos(\alpha+\beta)-cos(\alpha-\beta)}{-2}$

$\boxed{sin(\alpha)sin(\beta)=\displaystyle\frac{cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta)}{2}}$

$\underline{sin(\alpha)cos(\beta)}$

Y seguimos con lo mismo. Ahora en vez de usar las ecuaciones de la suma de ángulos del coseno usaremos las del seno.

$\left.\begin{tabular}{l}<br /> sin(\alpha+\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)+sin(\beta)cos(\alpha) \\<br /> sin(\alpha-\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)-sin(\beta)cos(\alpha)<br /> \end{tabular}\right\}$

Si ahora sumanos estas dos identidades tenemos que:

$sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)=$$sin(\alpha)cos(\beta)+sin(\beta)cos(\alpha)+sin(\alpha)cos(\beta)-sin(\beta)cos(\alpha)=$$2sin(\alpha)cos(\beta)$

Solventamos ese 2:

$\displaystyle\frac{2sin(\alpha)cos(\beta)}{2}=\displaystyle\frac{sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)}{2}$

$\boxed{sin(\alpha)cos(\beta)=\displaystyle\frac{sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)}{2}}$

$\underline{cos(\alpha)sin(\beta)}$

Para esta demostración haremos lo mismo que en la anterior, solo que restando las identidades de las que partimos:

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Si las restamos tenemos que:

$sin(\alpha+\beta)-sin(\alpha-\beta)=$$sin(\alpha)cos(\beta)+sin(\beta)cos(\alpha)-sin(\alpha)cos(\beta)+sin(\beta)cos(\alpha)=$$2sin(\beta)cos(\alpha)$

Si quitamos ese 2 tenemos que:

$\displaystyle\frac{2cos(\alpha)sin(\beta)}{2}=\displaystyle\frac{sin(\alpha+\beta)-sin(\alpha-\beta)}{2}$

$\boxed{cos(\alpha)sin(\beta)=\displaystyle\frac{sin(\alpha+\beta)-sin(\alpha-\beta)}{2}}$