Propiedades de los límites

[QED]

Sean $f(x)$ y $g(x)$ dos funciones reales de variable real tales que

$$\begin{aligned}&\lim_{x\to x_0} f(x) = a \\ & \lim_{x\to x_0} g(x) = b\end{aligned}$$

se satisfacen las siguientes propiedades:

$$\begin{aligned}& i)\quad \lim_{x\to x_0}f(x)+g(x)=a+b \\& ii)\quad\lim_{x\to x_0}f(x)\cdot g(x)=a\cdot b\\ \end{aligned}$$

Demostración

i) Tenemos que demostrar que

$$\forall \;\epsilon >0\; \exists\;\delta >0 \;|\; 0<|x-x_0|<\delta \;\Rightarrow \; |f(x)+g(x)-(a+b)|<\epsilon$$

para ello, de la definición de límite, si hacemos $\epsilon^* = \epsilon/2$, tenemos que existen $\delta_1,\delta_2 >0$ tales que si

$$\begin{aligned}&0<|x-x_0|<\delta_1\;\Rightarrow\; |f(x)-a|<\epsilon^* \\& 0<|x-x_0|<\delta_2\;\Rightarrow\; |g(x)-b|<\epsilon^*\end{aligned}$$

Entonces, escogiendo $\delta$ de tal forma que $\delta = \text{min}(\delta_1,\delta_2)$, tendremos que para $0<|x-x_0|<\delta$

$$|f(x)+g(x)-(a+b)|\stackrel{(!)}{\leqslant} |f(x)-a|+|g(x)-b|<\epsilon^*+\epsilon^*=\epsilon/2 + \epsilon/2 =\epsilon,$$

que no es más que la definición del límite

$$\lim_{x\to x_0}f(x)+g(x)=a+b\qed$$

(!): desigualdad triangular: $|a+b|\leqslant |a|+|b|$

ii) Lo que ahora queremos probar es que

$$\forall \;\epsilon >0\; \exists\;\delta >0 \;|\; 0<|x-x_0|<\delta \;\Rightarrow \; |f(x)\cdot g(x)-(a\cdot b)|<\epsilon$$

sabiendo que

$$\begin{aligned}&\forall \;\epsilon >0\; \exists\;\delta_1 >0 \;|\;0<|x-x_0|<\delta_1\;\Rightarrow\; |f(x)-a|<\epsilon_1 \\&\forall \;\epsilon >0\; \exists\;\delta_2 >0 \;|\; 0<|x-x_0|<\delta_2\;\Rightarrow\; |g(x)-b|<\epsilon_2\end{aligned}$$

Como en el caso de la suma, para poder trabajr con $|f(x)-a|$ y $|g(x)-b|$ escojemos $\delta = \text{min}(\delta_1,\delta_2)$. Entonces,

$$\begin{aligned}|f(x)\cdot g(x) - a\cdot b| = |f(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot b + f(x)\cdot b-a\cdot b| \leqslant \\ \leqslant|b||f(x)-a| + |f(x)||g(x)-b|,\end{aligned}$$

donde en el primer paso hemos sumado y restado $f(x)\cdot b$ y en el segundo hemos aplicado la desigualdad triangular.

Ahora, si hemos escogido $\epsilon_1$ de tal forma que $|b|\cdot\epsilon_1\leqslant\epsilon/2,$tendremos que

$$|b||f(x)-a|<\epsilon/2.$$

Si además, escogemos $\epsilon_1$ de forma que $\epsilon_1\leqslant 1$ tendremos que

$$|f(x)-a|<\epsilon_1\leqslant 1 \qquad\Rightarrow\qquad |f(x)|\leqslant |a|+1,$$

así que

$$|f(x)||g(x)-b|\leqslant(|a|+1)|g(x)-b|<(|a|+1)\epsilon_2.$$

Por último, basta con tomar $\epsilon_2$ como

$$\frac{1}{2}\frac{\epsilon}{|a|+1}$$

para obtener que $|f(x)||g(x)-b|< \epsilon/2$.

Con lo cual, si introducimos este último resultado y (9) en (8), tendremos que

$$|f(x)\cdot g(x)-a\cdot b|<\epsilon,$$

que prueba el límite

$$\lim_{x\to x_0}f(x)\cdot g(x)=a\cdot b$$

Fuentes:
Mètodes Matemàtics: Variable Complexa.Peñarrocha et. al.
http://noether.uoregon.edu/~sadofsky/H251/