Principio de propagación de Huygens - Fresnel.

[QED]

Según el principio de Huygens, todo punto de un frente de onda puede ser considerado como el centro de una segunda perturbación que da lugar a ondas esféricas secundarias, la envolvente de las cuales será el nuevo frente de onda un instante más tarde.

Según Huygens ésta era la forma según la cual avanzaba un frente de ondas. No obstante, Fresnel se percató de un problema asociado a dicha construcción: si contemplamos el modelo en sus tres dimensiones, la parte "trasera" da lugar a una onda que se propaga hacia atrás. Para solventarlo, Fresnel introdujo un factor de oblicuidad $f(\chi)$ que describía cómo variaba la amplitud de la onda secundaria en función de $\chi$, el ángulo entre la normal al frente de onda en $Q$ y la recta $r$ que une los puntos $Q$ y $P$:

Sin saber exactamente cuál era la ecuación del factor de oblicuidad, Fresnel lo definió de tal forma que:

$$f(\chi)=\left\{\begin{aligned} &\text{max.}\quad & \text{para}\;\; \chi=0 \\ &0 & \text{para}\;\;\chi\geqslant \pi/2\end{aligned}\right.$$

Una vez introducido este factor se solucionaba el hecho de que apareciese una onda propagándose hacia atrás. Ahora la onda esférica no tendrá la misma amplitud en todas las direcciones, variará con el ángulo respecto a la normal.

La deducción que hizo Fresnel de la propagación de ondas se basa en el siguiente esquema: Sea S la posición del frente de ondas de una onda esférica monocromática de radio $R$ procedente de un punto $O$. Podemos escribir la perturbación en un punto Q de dicho frente como:

$$E = \frac{E_0}{R}\eee{i(\omega t - kR)},$$

A partir de ahora omitiremos el parámetro temporal de la exponencial limitándonos a escribir $\frac{E_0}{R}\eee{-ikR}$.

Sabemos que, de la misma forma, el campo en un punto $P$ será

$$E_p=\frac{E_0}{D}\eee{-ikD},$$

no obstante, queremos llegar a esta expresión sumando todas las ondas secundarias, es decir, queremos comprobar si el modelo de Huygens-Fresnel es acertado y nos lleva a esta expresión para el campo en el punto $P$.

Para ello cogemos una superficie $\dd\Sigma$ sobre la esfera para poder integrar y calculamos cuál es la contribución de $\dd\Sigma$ en $P$.

Entonces, si consideramos que todos los puntos de S se comportan como nuevos emisores, tendremos que la contribución de $\dd \Sigma$ debida a $Q$ será:

$$\dd E_p = \frac{E_0}{R}\eee{-ikR}\frac{1}{r}\eee{-ikr}f(\chi)\dd\Sigma$$

En consecuencia

$$E_p=\int\limits_{\forall\dd\Sigma}\dd E_p,$$

pero el problema es que no conocemos la expresión de $f(\chi)$, así que ¿cómo integramos?

Pues bien, la ingeniosa idea de Fresnel se basa en la construcción de zonas semiperiódicas, que son esferas con centro en $P$cuyos radios son

$$\begin{aligned}&r_0 \\ & r_1= r_0+\frac{\lambda}{2}\\& r_2 = r_1+\frac{\lambda}{2} = r_0 + \lambda \\ &\qquad\qquad\qquad\vdots \\ & r_j= r_{j-1}+\frac \lambda 2=r_0+\frac{j\lambda}{ 2}\\ &\qquad\qquad\qquad\vdots \\ & r_n = r_{n-1}+\frac{\lambda}{2}=r_0+\frac{n\lambda}{2} \end{aligned}$$

Podemos ver una idea del montaje en la siguiente imagen

Con lo cual, en lugar de integrar para toda el área de la esfera, lo que haremos será tan sólo integrar para la zona j-ésima y al final sumaremos todas las contribuciones de cada una de las zonas:

$$E_{p_j}=\int\limits_{r_{j-1}}^{r_j}\dd E_p= \frac{E_0}{R}\eee{-ikR}\int\limits_{r_{j-1}}^{r_j}\frac 1r \eee{-ikr}\dd\Sigma, \qquad\qquad j=1,\ldots,n$$

aun seguir teniendo $f(\chi)$ en las integrales, lo que esta función varía de una zona a la otra es tan poco (ya que $\chi$ prácticamente no varía al ser las zonas arbitráriamente pequeñas) que podemos considerar que $f(\chi)$ es constante para toda la zona y podemos sacarlo de la integral!

El elemento de superfície en coordenadas esféricas (teniendo ya en cuenta la simetría azimutal) es:

$$\dd\Sigma = 2\pi R^2\sin\psi\dd\psi$$

Ahora, si consideramos el triángulo con vértices OQP y aplicamos el teorema del coseno y diferenciamos respecto a $r$ y $\psi$:

$$r^2=R^2+D^2 - 2RD\cos\psi \qquad\to\qquad 2r\dd r = 2RD\sin\psi\dd\psi$$

Ahora, si introducimos esto último en (8) podremos integrar respecto el radio de las zonas:

$$\dd\Sigma = 2\pi\frac{rR}{D}\dd r$$

Con lo cual, podemos calcular (7) sin complicación:

$$\begin{aligned}E_{p_j}&=\frac{E_0}{R}\eee{-ikR}\frac{2\pi R}{D}\int\limits_{r_{j-1}}^{r_j}\frac{\eee{-ikr}}{r}rf(\chi)\dd r \\ & = \frac{E_0}{R}\eee{-ikR}\frac{2\pi R}{D}f_j(\chi)\int\limits_{r_{j-1}}^{r_j} \frac{\eee{-ikr}}{r}r\dd r\end{aligned}$$

Hemos escrito $f_j(\chi)$ para indicar que es constante para toda la zona j, pero es diferente para cada zona. Así que

$$\begin{aligned}E_{p_j}&= \frac{E_0}{D}\eee{-ikR}2\pi f_j(\chi)\int\limits_{r_{j-1}}^{r_j}\eee{-ikr}\dd r \\ & = \frac{2\pi E_0 f_j(\chi)}{D}\int\limits_{r_{j-1}}^{r_j}\eee{-ik(R+r)}\dd r \\ & = -\frac{2\pi E_0 f_j(\chi)}{ikD}\left[ \eee{-ik(R+r)}\right]_{r_{j-1}= r_0+\frac{(j-1)\lambda}{2}}^{r_j=r_0+\frac{j\lambda}{2}} \end{aligned}$$

Si desarrollamos el término de dentro del claudator:

$$\begin{aligned}<br /> \left[ \eee{-ik(R+r)}\right]_{r_0+\frac{(j-1)\lambda}{2}}^{r_0+\frac{j\lambda}{2}}& = \eee{-ik\left( R+r_0+\frac{j\lambda}{2}\right)} - \eee{-ik\left(R+r_0 +\frac{(j-1)\lambda}{2}\right)}\\<br /> & = \eee{-ik(R+r_0)}\eee{-ik\frac{j\lambda}{2}}}\left(1-\eee{-\frac{i2\pi\lambda}{\lambda 2}}\right) \\ & = \eee{-ik(R+r_0)}\eee{-i\frac{2\pi}{\lambda}\frac{j\lambda}{2}}\left( 1-\eee{i\pi}\right) \\ & = \eee{-ik(R+r_0)}(-1)^j 2\end{aligned}$$

En el último paso hemos usado que $\eee{i\pi}=-1$ y que $\eee{i\pi j}=(-1)^j$.

Con lo cual,

$$\begin{aligned}<br /> E_{p_j} & =-\frac{2\pi E_0 f_j(\chi)}{ikD}2(-1)^n \eee{-ik(R+r_0)}\\ & = (-1)^{j+1}\frac{2 E_0 \lambda f_j(\chi)}{D}\eee{-ikD-i\frac\pi 2}\\<br /> & \boxed{E_{p_j}=(-1)^{j+1}\frac{2E_0}\lambda f_j(\chi){D}\eee{-ikD-i\frac\pi 2}} <br /> \end{aligned}$$

Por último, tenemos que sumar las contribuciones de todas la zonas:

$$E_p\sum_{j=1}^n E_p_j = E_1+E_2+\ldots + E_n$$

Si observamos la ecuación recuadrada en (13) vemos cada zona contribuye a la amplitud en P con sumandos de signo alternado cuya única variable es el factor de oblicuidad $f_j(\chi)$. De esta forma, podemos sumar (14) como

$$E_p = |E_1|-|E_2|+|E_3|-\ldots +(-1)^{n+1}|E_n|$$

Para sumar (15), usaremos el siguiente truco:

$$\begin{aligned}\dst E_p &= \frac{|E_1|}{2} + \left( \frac{E_1}{2}-|E_2| + \frac{|E_3|}{2}\right) + \\ & + \left( \frac{|E_3|}{2} - |E_4| + \frac{|E_5|}{2}\right) +\ldots+\left(\frac{|E_{n-1}|}{1} - |E_{n-1}| + \frac{|E_n|}{2} \right) + \frac{|E_n|}{2} \end{aligned}$$

Hemos definido las zonas de tal forma que sean arbitrariamente pequeñas (esto es, $n$ arbitrariamente grande), con lo cual, la variación de $f_j(\chi)$ de una zona a la otra es lo suficientemente lenta para poder decir que el valor de $f_j$ es la media aritmética entre $f_{j-1}$ y $f_{j+1}$, de esta forma todos los términos entre paréntesis son 0 (en caso de no serlo, será un valor muy próximo y, además, ya que los términos entre paréntesis variarían de signo tan frecuentemente que el error asociado a esta aproximación es despreciable). Con lo cual nos queda que

$$E_p = \frac{|E_1|+|E_n|}{2},$$

pero sabemos que $|E_n|=0$ ya que $\chi = \pi/2$ y $f(\chi = \pi/2)=0$, en consecuencia:

$$E_p=\frac{E_1}{2}$$

Hemos integrado sin saber cuál es el factor de oblicuidad!

De esta forma, teniendo en cuenta que en la primera zona $\chi =0$

$$E_p=\frac{E_0\lambda}{D}\eee{-ikD-i\frac{\pi}{2}}f_1(\chi=0);$$

Si hacemos que $f_1(\chi=0)=1$ (más adelante, Kirchhoff encontraría la ecuación exacta del factor de oblicuidad y se vería que, efectivamente f(0)=1). Si volvemos a introducir en las ecuaciones el parámetro temporal:

$$E_p=\frac{E_0\lambda}{D}\eee{i(\omega t-kD)-i\frac\pi 2};$$

Vemos que dicha ecuación es muy parecida a la que esperábamos obtener

$$E'_p=\frac{E_0}{D}\eee{i(\omega t - kD)}$$

De nuevo, Fresnel tuvo que hacer algunas suposiciones para justificar el factor $\lambda$ que aparece multiplicando y el desfase en $\pi/2$. Estos factores salen de haber considerado que

$$\dd E_p = \frac{E_0}{k}\eee{-ikR}\frac 1r \eee{-ikr}f(\chi)\dd\Sigma$$

La justificación que dio fue que de la misma forma que habíamos supuesto arbitrariamente que las ondas secundárias originadas en los puntos de $S$ no tenían desfase alguno con la onda $S$ que las originaba, podemos considerar (de forma arbitraria, también) que en realidad salen con un desfase de $\pi/2$. En cuanto al factor $\lambda$ que aparece multiplicando, podemos interpretarlo como que los puntos emisores de las ondas secundarias radian con una amplitud $1/\lambda$ de la que habíamos supuesto.
Dichas consideraciones son totalmente arbitrarias y se hacen para que cuadre con lo esperado, pero también era arbitrario suponer (**).

Así que, si suponemos que se cumplen las condiciones anteriores para las ondas secundarias, tenemos que según el modelo de Huygens - Fresnel, la expresión del campo en el punto $P$ será:

$$\boxed{E_p = \frac{E_0}{D}\eee{i(\omega t - kD)}}$$

como se esperaba.

Todo esto quedó justificado con la teoría de la difracción de Kirchhoff sin necesidad de hacer suposiciones como las anteriores.

[Luis Alberto]

Muchas Gracias me ha aclarado muchas dudas....