Binomio de Newton.

[QED]

Hola a todos, compañeros de LWDF:

En este artículo demostraré el conocido binomio de Newton por el método inductivo. Como ya sabéis, en muchas ocasiones, para obtener la expresión de algunas potencias notables, se recurre a efectuar el producto repetido de la base, que terminamos por memorizar. Ejemplos de ésto son:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

No obstante, esto resultaría muy laborioso si el exponente es muy elevado. Para ello, Newton desarrolló una fórmula muy fácil de recordar y aplicar que permite hacer cálculos directos sin mucho esfuerzo. El binomio de Newton puede verse del siguiente modo:

$$(a+b)^n=\dst{n\choose 0}a^n+\dst{n\choose 1}a^{n-1}b+\dst{n\choose 2}a^{n-2}b^2+\ldots \dst{n\choose{n-1}}ab^{n-1}+\dst{n\choose n}b^n$$

De igual modo, podemos ver expresado el binomio mediante una fórmula más sencilla, que es sobre la que trabajaremos a lo largo de la demostración. Esta es:

$$(a+b)^n=\dst\sum_{k=0}^{n}\dst{n\choose k} a^{n-k}b^k ,\quad \forall n\geqslant 0,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Como se suele hacer en las demostraciones por inducción, probemos la igualdad para $n=1$:

$$(a+b)^1=\dst\sum_{k=0}^{n=1} \dst{1\choose k} a^{1-k}b^k$$

Desarrollemos el segundo miembro de la igualdad para comprobar si se cumple:

$$\dst\sum_{k=0}^{n=1} \dst{1\choose k} a^{1-k}b^k=\dst{1\choose 0}a^1b^0+\dst{1\choose 1}a^0b^1= \dst\frac{1!}{0!(1-0)!}a^1b^0+\dst\frac{1!}{1!(1-1)!}a^0+b^1=a+b$$

Como se puede observar, la igualdad se cumple. Por tanto, es cierto que:

$$(a+b)^1=\underbrace{\dst\sum_{k=0}^{n=1} \dst{1\choose k} a^{1-k}b^k}_{(a+b)^1}$$

Supongamos que la igualdad se cumple para cualquier valor de $n$:

$$(a+b)^n=\dst\sum_{k=0}^{n}\dst{n\choose k} a^{n-k}b^k$$

Al suponer que esta igualdad se cumple para cualquier valor de $n$, también lo hará para $n+1$. Por tanto, se trata de demostrar, apoyándonos en nuestra hipótesis inductiva, que la siguiente igualdad se cumple:

$$(a+b)^{n+1}=\dst\sum_{k=0}^{n+1}\dst{{n+1}\choose k}a^{n+1-k}b^k$$

La demostración, propiamente dicha, es la siguiente:

$$(a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^n=a(a+b)^n+b(a+b)^n$$

Es decir, aplicando la propiedad del producto de potencias con igual base y la propiedad distributiva de la suma con respecto al producto, obtenemos la expresión indicada. Ahora, partiendo de nuestra hipótesis inductiva, sustituimos:

$$(a+b)^{n+1}=a\dst\sum_{k=0}^{n}\dst{n\choose k}a^{n-k}b^k+b\dst\sum_{k=0}^{n}\dst{n\choose k}a^{n-k}b^k$$

Teniendo en cuenta las propiedades de los sumatorios y que los factores $a,b$ no están afectados por los índices de éstas, podemos introducirlos, quedándonos:

$$(a+b)^{n+1}=\dst\sum_{k=0}^{n}\dst{n\choose k}a^{n+1-k}b^k+\dst\sum_{k=0}^{n}\dst{n\choose k}a^{n-k}b^{k+1}$$

A continuación, trabajaremos con los dos sumatorios. En el primero de ellos, extraeremos el primer término y lógicamente sumaremos desde $k=1$ (pues el término para el que $k=0$ está fuera) hasta $n$. Por tanto:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
En lo que respecta al segundo sumatorio, ''quitaremos'' el último término, y consecuentemente sumaremos desde $k=0$ hasta $n-1$, es decir, el penúltimo término, obviamente. Tenemos pues:

$$\dst\sum_{k=0}^{n}\dst{n\choose k}a^{n-k}b^{k+1}=\dst\sum_{k=0}^{n-1}\dst{n\choose k}a^{n-k}b^{k+1}+\dst{n\choose n}a^0b^{n+1}$$

Por otro lado, debemos recordar las siguientes propiedades de los números combinatorios:

$$\boxed{\underbrace{\dst{n\choose 0}}_{1}=\underbrace{\dst{{n+1}\choose 0}}_1}$$

$$\boxed{\underbrace{\dst{n\choose n}}_1=\underbrace{\dst{{n+1}\choose {n+1}}}_1}$$

Con el fin de homogeneizar los dos sumatorios para poder expresarlos en uno solo, vamos a hacer el siguiente cambio de variable:

$$p=k+1 ,\quad \text{si}\quad k=0 \Rightarrow \boxed{p=1} ;\quad \text{si}\quad k= n-1 \Rightarrow n-1+1=p\Rightarrow \boxed{p=n}$$

Como decía antes, como nuestro objetivo es homogeneizar y poner los dos sumatorios como uno sólo, de igual modo podemos cambiar la ''letra'' $k$ por $p$ en el primer sumatorio. Esto es lo que se conoce como variable muda, lo cual viene a decir que da igual qué letra usas como índice pues al fin y al cabo, lo que importa es el valor de partida y el de llegada. Después de estos cambios efectuados, si sumamos (10) y (11), tenemos que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$$A+B=\dst{{n+1}\choose 0}a^{n+1}b^0+\dst\sum_{p=1}^{n}\dst{n\choose p} a^{n+1-p}b^p + \dst\sum_{p=1}^n \dst{n\choose{p-1}}a^{n-(p-1)}b^p + \dst{{n+1}\choose{n+1}}a^0b^{n+1}$$

Por tanto, obtenemos finalmente que $(a+b)^{n+1}$ es igual a:

$$\dst{{n+1}\choose 0}a^{n+1}b^0+\dst\sum_{p=1}^{n}\dst{n\choose p} a^{n+1-p}b^p + \dst\sum_{p=1}^n \dst{n\choose{p-1}}a^{n+1-p}b^p + \dst{{n+1}\choose{n+1}}a^0b^{n+1}$$

Si nos fijamos en la expresión de arriba, los sumatorios son muy parecidos; de hecho, los índices son los mismos y la parte literal igual. Únicamente se diferencian en los coeficientes combinatorios. Por tanto, podríamos ''juntarlo'' para obtener una expresión que se acerca al final de la demostración:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Lo que tenemos en el sumatorio es de lo más curioso. Pues de esa suma, obtenemos un resultado imprescindible para terminar con esta demostración. Este resultado es el siguiente:

$$\dst{n\choose p}+ \dst{n\choose{p-1}}=\dst{{n+1}\choose k}$$

La demostración es bastante sencilla:

$$\dst{n\choose p}+ \dst{n\choose{p-1}}=\dst\frac{n!}{p!(n-p)!}+\dst\frac{n!}{(p-1)!(n-p+1)!}$$

Ahora, para evitarnos un poco de trabajo, el ''truco'' es multiplicar (y lógicamente dividir, para no alterar la expresión) al primer término por $(n-p+1)$ y al segundo por $p$. Obtenemos así:

$$\dst\frac{n!}{p!(n-p)!}+\dst\frac{n!}{(p-1)!(n-p+1)!}=\dst\frac{(n-p+1)n!}{(n-p+1)p!}+\dst\frac{pn!}{p!(mn-p+1)!}$$

$$\dst\frac{(n+1)!}{p!(n-p+1)!}=\boxed{\dst{{n+1}\choose p}}$$

Por tanto, conociendo esta propiedad de los números combinatorios, podemos introducirla en nuestra expresión (18):

$$(a+b)^{n+1}=\dst{{n+1}\choose 0}a^{n+1}b^0+\dst\sum_{p=1}^n \dst{{n+1}\choose p} a^{n+1-p}b^p + \dst{{n+1}\choose{n+1}}a^0b^{n+1}$$

Esta expresión no es más que:

$$\dst{{n+1}\choose 0}a^{n+1}b^0+\dst\sum_{p=1}^n \dst{{n+1}\choose p} a^{n+1-p}b^p + \dst{{n+1}\choose{n+1}}a^0b^{n+1}=\boxed{\dst\sum_{p=0}^{n+1} \dst{{n+1}\choose p}a^{n+1-p}b^p}$$

Es decir, hemos comprobado que es correcta la proposición inicial para $n+1$ partiendo de nuestra hipótesis inductiva. Por tanto, si es verdadera esta proposición, también lo tiene que ser para $n$, ergo el binomio queda demostrado.

$$\boxed{\boxed{(a+b)^n=\dst\sum_{k=0}^{n}\dst{n\choose k} a^{n-k}b^k ,\quad 0\leqslant k\leqslant n ,\quad n, k\in \mathbb{N}}}$$

$$\bold{\text{Q.E.D}}$$

[clown]

Muchas gracias!.. Muy interesante =D