Demostración del Teorema de Rolle

[QED]

Teorema de Rolle

Si una función $f(x)$:
1.-es continua sobre el segmento $[a,b]$
2.-es derivable en el intervalo $(a,b)$
3.-se reduce a cero en los extremos $x=a$ y $x=b$, $[f(a)=f(b)=0]$

Entonces dentro del segmento $[a,b]$ existe por lo menos un punto, $x=c$, $a<c<b$, en el que la derivada $f'(x)=0$

Bueno, básicamente lo que quiere decir este teorema se ve en las siguientes gráficas:

Demostración:

Podemos considerar el caso de la función $f(x)=0$, en donde se ve muy sencillamente que $f'(x)=0$

Ademas de la función $f(x)=0$, podemos pensar en cualquier función $f(x)$ (que cumpla 1,2 y 3 ) que tenga algún valor positivo.

Dado que $f(x)$ es una función continua en un intervalo cerrado, ésta debe tener su valor máximo (y mínimo). Y dado que cualquier valor positivo es mayor que cero, entonces el valor maximo no puede estar en los extremos $a$ y $b$, sino en el intervalo $(a,b)$ (que es derivable)

Supongamos que el valor máximo de la función sea $M=f(c)$,($a<c<b$) de modo que sería valido expresar que para cualquier $\Delta x$, $f(c)\geqslant f(c+\Delta x)$

o lo que es lo mismo:

$$f(c+\Delta x)-f(c)\leqslant 0$$

ahora, dividiré por $\Delta x$

si $\Delta x >0$, el signo de la desigualdad se mantiene, y obtenemos:

$$\dfrac{f(c+\Delta x)-f(c)}{\Delta x}\leqslant 0$$

si $\Delta x <0$, el signo de la desigualdad cambia, y obtenemos:

$$\dfrac{f(c+\Delta x)-f(c)}{\Delta x}\geqslant 0$$

Ahora, tomamos el límite de (1):

$$\dst\lim_{\Delta x\to 0^+}\dfrac{f(c+\Delta x)-f(c)}{\Delta x}\leqslant 0$$

y el de (2)

$$\dst\lim_{\Delta x\to 0^-}\dfrac{f(c+\Delta x)-f(c)}{\Delta x}\geqslant 0$$

Recordemos que una de las condiciones del teorema es que la función sea derivable en todos los puntos del intervalo $(a,b)$, de modo que $f'(c)$ debe existir, y para que exista se debe cumplir que tanto el límite de (1) como el de (2) sean iguales, y esto sólo sucede cuando el límite da 0.

De modo que

$$\dst\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(c+\Delta x)-f(c)}{\Delta x}=f'(c)= 0$$

Bueno, todo esto fue para funciones con valores positivos.
Para cubrir todos los casos, consideremos una función que no tenga valores positivos. Osea, una que solo tenga valores negativos y el cero.
Dado que cualquier valor negativo es menor que cero, entonces el valor minimo de la función no puede estar en los extremos, sino en el intervalo $(a,b)$.
De ahí se sigue un procedimiento análogo al que se hizo con el valor máximo.

y queda demostrado el teorema.

Este teorema puede extenderse un poco mas. Observe que en la ultima condición dice que $f(a)=f(b)=0$. Bueno, en realidad es solo necesario que $f(a)=f(b)$

Lo demostraré a continuación:

Sea $h(x)$ una función que cumple con todas las condiciones iniciales excepto talvez con la numero 3; en vez de ser $h(a)=h(b)=0$, tenemos que $h(a)=h(b)=n$

Ahora, imaginemos la función $g(x)$ que esté definida así $g(x)=h(x)-n$.

Notemos que esta función se anula en sus extremos ($g(a)=h(a)-n=0$; $g(b)=h(b)-n=0$)

Debido a que la función $h(x)$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$, la función $g(x)$ también lo es, ya que sumar o restar un termino constante no afecta estas propiedades (continuidad y diferenciabilidad)

De modo que $g(x)$ cumple todas las propiedades del Teorema de Rolle

Procederé a derivar

$g(x)=h(x)-n$

$g'(x)=h'(x)$

$g'(c)=h'(c)=0$

[SO3]

La demostración esta mal porque en ningún momento utilizas la tercera propiedad.

[javier m]

Tienes Toda la Razón.
Me he comido algo. Le echare una mano después.
Gracias, no me había dado cuenta que nunca usé a (3).

[hennin]

Es mucho más fácil demostrarlo así (una vez has demostrado el teorema de Weierstrass):

puesto que [a,b]--> R es continua. Entonces existe un máximo y mínimo en [a,b].
Entonces existe un t perteneciente a (a,b) tal que:
i) f(t)<f(a)=f(b) --> existe un c tal que f'(c)=0
ii) igual si f(t)>f(a)=f(b)
iii) si f(a)=f(b)=f(t) para todo t --> f es constante--> f'(t)=0

Siendo más exactos, faltaría demostrar que un máximo o mínimo tiene derivada nula. Pero es simple por reducción al absurdo (supones que no, y entonces o crecería o decrecería lo que contradeciría que fuera un max/min: existiría un delta>o t.q. f(t1)<f(t)<f(t2) !!!) .

El th de W. es inmediato: [a,b] es compacto en R-> como f es continua, f([a,b]) es compacto --> es cerrado y acotado --> como es acotado existe supremo/infimo y como es cerrado pertenece al conjunto.