El teorema fundamental del cálculo es de vital importancia, pues es el que establece la estrecha relación entre las operaciones derivada e integral: una la inversa de la otra.

Antes de enunciar y demostrar el teorema, cabe señalar que estamos hablando de la integración tipo Riemann y que a las funciones integrables Riemann en un intervalo real se las denota como , es decir: es el espacio de funciones integrables Riemann en .

Pasemos a enunciar y demostrar el teorema

Teorema fundamental del cálculo:

Sea y tal que . Entonces:

i) es continua en .
ii) Sea continua en un punto entonces es derivable en y

Demostración

i) Como , la función es acotada, es decir y .

Si tomamos: tal que con (es decir, un h lo suficientemente pequeño como para que, al ser sumado a un número del intervalo, sigamos dentro del intervalo):



Nota: hemos usado las siguientes propiedades de las integrales: y .

Si tomamos valor absoluto:



Donde hemos usado que: y

Si aplicamos el límite en el que :


Q.E.D

ii) Sea continua en . Sea tal que (igual que en el primer apartado).





Pues es una constante y hemos usado la propiedad de las integrales mencionada antes. Como la integración es una operación lineal (es decir: y ), tenemos:



Como es continua en el punto tal que dado si . Tomando valor absoluto en la expresión anterior:



Pues, ya que . Si tenemos:

Q.E.D


Demostración basada en las clases de Análisis Matemático de 1º de Grado en Física de José Esteban Galé, profesor de la Universidad de Zaragoza; Dpto. de Análisis Matemático.