Teorema fundamental del cálculo.

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El teorema fundamental del cálculo es de vital importancia, pues es el que establece la estrecha relación entre las operaciones derivada e integral: una la inversa de la otra.

Antes de enunciar y demostrar el teorema, cabe señalar que estamos hablando de la integración tipo Riemann y que a las funciones integrables Riemann en un intervalo real $[a,b]$ se las denota como $f \in R[a,b]$, es decir: $R[a,b]$ es el espacio de funciones integrables Riemann en $[a,b]$.

Pasemos a enunciar y demostrar el teorema

Teorema fundamental del cálculo:

Sea $f \in R[a,b]$ y $F:[a,b] \to \mathbb{R}$ tal que $F(x)=\dst\int_a^x f \ \forall x \in [a,b]$. Entonces:

i) $F$ es continua en $[a,b]$.
ii) Sea $f$ continua en un punto $c \in [a,b]$ entonces $F$ es derivable en $c$ y $F'(c)=f(c)$

Demostración

i) Como $f\in R[a,b]$, la función es acotada, es decir $\exists K := sup \{|f(x)| \ | x \in [a,b] \}$ y $K\geqslant 0$.

Si tomamos: $\ \forall h$ tal que $\sigma + h \in [a,b]$ con $\sigma \in [a,b]$ (es decir, un h lo suficientemente pequeño como para que, al ser sumado a un número del intervalo, sigamos dentro del intervalo):

$F(\sigma+h)-F(\sigma)= \dst\int_a^{\sigma+h}f - \dst\int_a^\sigma f = \dst\int_a^{\sigma+h}f + \dst\int_\sigma^a f= \dst\int_\sigma^{\sigma+h}f$

Nota: hemos usado las siguientes propiedades de las integrales: $\forall c \in [a,b] \ \dst\int_a^c f +\dst\int_c^b f = \dst\int_a^bf$ y $\dst\int_a^bf=-\dst\int_b^af$.

Si tomamos valor absoluto:

$|F(\sigma+h)-F(\sigma)|=\left|\dst\int_{\sigma}^{\sigma+h}f\right|\leqslant \dst\int_\sigma^{\sigma+h} |f| \leqslant \dst\int_\sigma^{\sigma+h}K= K \cdot h$

Donde hemos usado que: $\left|\dst\int_a^b f\right|\leqslant \dst\int_a^b|f|$ y $\dst\int_a^b C = C\cdot(b-a) \ \forall C\in\mathbb{R}$

Si aplicamos el límite en el que $h\to0$:

$\dst\lim_{h \to 0}|F(\sigma+h)-F(\sigma)|=\dst\lim_{h \to 0}K\cdot h = 0 \Rightarrow$
$\dst \lim_{h \to 0}|F(\sigma+h)-F(\sigma)|=0 \Rightarrow \dst \lim_{h \to 0}F(\sigma+h)= F(\sigma)$ Q.E.D

ii) Sea $f$ continua en $c\in[a,b]$. Sea $h>0$ tal que $c+h \in [a,b]$ (igual que en el primer apartado).

$\dfrac{F(c+h)-F(c)}{h}-f(c)= \dfrac{1}{h}\cdot \left(\dst\int_a^{c+h}f - \dst\int_a^cf\right)- f(c)=$

$\dfrac{1}{h}\dst\int_c^{c+h}f - f(c)=\dfrac{1}{h}\dst\int_c^{c+h}f - \dfrac{1}{h}\dst\int_{c}^{c+h}f(c)$

Pues $f(c)$ es una constante y hemos usado la propiedad de las integrales mencionada antes. Como la integración es una operación lineal (es decir: $\dst\int_a^bf+\dst\int_a^bg=\dst\int_a^b(f+g)$ y $\dst\int_a^b\alpha f = \alpha\dst\int_a^bf \ \forall \alpha \in \mathbb{R}$), tenemos:

$\dfrac{1}{h}\dst\int_c^{c+h}f - \frac{1}{h}\dst\int_{c}^{c+h}f(c) = \frac{1}{h}\dst\int_c^{c+h}(f-f(c))$

Como $f$ es continua en el punto $c \ \exists \ \varepsilon > 0$ tal que dado $\delta>0$ si $|x-c|<\delta<h \Rightarrow |f(x)-f(c)|<\varepsilon$. Tomando valor absoluto en la expresión anterior:

$\left|\dfrac{1}{h}\dst\int_c^{c+h}(f-f(c))\right|\leqslant \dfrac{1}{|h|}\dst\int_c^{c+h}|f-f(c)|< \dfrac{1}{|h|}\dst\int_c^{c+h}\varepsilon = \dfrac{1}{h}\varepsilon\cdot h= \varepsilon$

Pues, ya que $h>0 \Rightarrow |h|=h$. Si $h\to0 \ \forall \varepsilon >0$ tenemos:

$\dst\lim_{h \to 0}\left|\dfrac{F(c+h)-F(c)}{h}\right|-f(c)=0 \Rightarrow F'(c)=\dfrac{F(c+h)-F(c)}{h}=f(c)$ Q.E.D

Demostración basada en las clases de Análisis Matemático de 1º de Grado en Física de José Esteban Galé, profesor de la Universidad de Zaragoza; Dpto. de Análisis Matemático.