Regla de Barrow

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Como corolario del Teorema fundamental del Cálculo se deduce la Regla de Barrow. Estos dos resultados son de vital importancia para el cálculo de integrales y primitivas.

Por un lado, el Teorema fundamental del Cálculo permite el cálculo de primitivas, pues como ya comentábamos en su demostración, éste establece que la primitiva es la inversa de la derivada: como sabemos calcular derivadas podemos, pues, calcular primitivas.

Por otra parte, la Regla de Barrow resulta indispensable para el cálculo de integrales, es decir, el cálculo de áreas que encierran funciones en un determinado dominio.

Pasemos al enunciado y demostración de este corolario:

Sea $f$ una función continua en un intervalo real $[a,b]$ y $g$ otra función tal que $g' = f$ en $[a,b]$.

Entonces:

$$\dst\int_a^b f dx = g(b) - g(a)$$

NOTA: en la demostración previa utilizamos la notación $\dst\int_a^b f$: la usada ahora añadiendo el $dx$ es igual de válida. Se usa una u otra por comodidad: en la demostración del teorema fundamental del cálculo es más cómoda la primera pero, a nivel operativo, se usa la expuesta en este corolario.

Demostración:


Sea $F(x):=\dst\int_a^x f dx \ \ \forall x \in [a,b]$. Por el Teorema fundamental del cálculo:

$$F'(x)=f(x)$$

Y dado que, por la base de la que partimos en esta demostración $g'=f$ en $[a,b]$:

$$F'(x)=f(x)=g'(x) \Rightarrow F'(x)-g'(x)=0$$

Como la derivada es una operación lineal:

$$F'(x)-g'(x)=(F(x)-g(x))'=0$$

Sabemos que la derivada de una constante es nula, es decir $C'=0 \ \ \forall C \in \mathbb{R}$. Así pues:

$$(F(x)-g(x))'=0 \Rightarrow F(x)-g(x)= C$$

Pero ¿cuál es el valor de esa constante?. La ecuación (1) se verifica $\forall x \in [a,b]$, en particular para $a$:

$$F(a)-g(a)=C \Rightarrow \dst\int_a^a f dx - g(a) = C$$

Como $\dst\int_a^a f dx = 0$ tenemos:

$$-g(a)=C$$

Así pues, aplicando (1) para $x=b$:

$$F(b)-g(b)=C=-g(a)\Rightarrow F(b)=g(b)-g(a)$$

Por tanto:

$$F(b)=\dst\int_a^bf dx=g(b)-g(a)$$

Q.E.D

Demostración basada en las clases de Análisis Matemático de 1º de Grado en Física de José Esteban Galé, profesor de la Universidad de Zaragoza; Dpto. de Análisis Matemático.