Otra demostración (más) del teorema de Pitágoras, mediante cálculo infinitesimal

[QED]

En primer lugar vamos a demostrar las conocidas expresiones de las derivadas del seno y del coseno. Para ello nos ayudaremos de la figura siguiente:

Como vemos, los triángulos OCE y ACB son semejantes, con razón de semejanza que podemos encontrar con las hipotenusas

$$\dst\frac{AC}{OC}=\frac{R\dd\theta}{R}=\dd\theta$$

De la proporcionalidad entre los catetos opuestos al ángulo $\theta$ tenemos el diferencial del coseno

$$\dst\dd\theta=\frac{BC}{CE}=\frac{\dd(-R\cos\theta)}{R\sin\theta}=\frac{\dd\cos\theta}{-\sin\theta}$$

y con la de los catetos contiguos encontramos la diferencial del seno

$$\dst\dd\theta=\frac{AB}{OE}=\frac{\dd(R\sin\theta)}{R\cos\theta}=\frac{\dd\sin\theta}{\cos\theta}$$

Una vez que tenemos las derivadas de las funciones trigonométricas simplemente recurriremos a los desarrollos en serie de McLaurin (es decir, de Taylor en torno a $\theta=0$) de las funciones

$$f(\theta)=\sin^2 \theta$$

$$g(\theta)=\cos^2 \theta$$

Como

$$f'(\theta)=2\sin \theta\cos \theta$$

y

$$g'(\theta)=-2\sin \theta\cos \theta=-f'(\theta)$$

tenemos que todas las derivadas de $g(\theta)$ son las opuestas de las de $f(\theta)$

$$g^{(n)}(\theta)=-f^{(n)}(\theta)$$

Para llegar al final sólo nos basta con observar, por la propia definición de las funciones seno y coseno, que $f(0)=0$ y $g(0)=1$.

Como el desarrollo en serie de McLaurin del cuadrado del seno es

$$\dst\sin^2 \theta=\sum_{n=1}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \theta^n$$

y el del cuadrado del coseno es

$$\dst\cos^2 \theta=1+\sum_{n=1}^\infty \frac{g^{(n)}(0)}{n!} \theta^n=1-\sum_{n=1}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\theta^n=1-\sin^2 \theta$$

resulta que

$$\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1$$

Multiplicando ambos lados por el cuadrado del radio de la figura anterior, y teniendo en cuenta que éste es la hipotenusa del triángulo OCE, (11) nos conduce finalmente al teorema de Pitágoras:

$$\rm CE^2+OE^2=OC^2$$

[sater]

yo creo que es así la notación, o al menos es la que conozco yo!

[arivasm]

Yo siempre he escrito así la derivada enésima. De todos modos, he visto que ciertamente en muchos sitios lo escriben como dice Weip. Un ejemplo es éste: http://www.ma.uva.es/~antonio/Indust...a-11_09-10.pdf. Por tanto, procedo a cambiar la notación.

[gdonoso94]

Cada día me sorprendo más con la cantidad de demostraciones que se pueden ver del teorema de Pitágoras. Gran demostración arivasm, en tu línea.

Un saludo.