Fórmulas de física en lenguaje Latex 14 - Matemática Logaritmos, Números complejos, Area, volumen, polinomios, series

[Richard R Richard]

El objeto de este blog es recopilar, fórmulas o ecuaciones matemáticas que se aplican en física normalmente, con el objeto de que con un simple copie y pegue se puedan usar en el desarrollo de los mensajes del foro y los artículos de blogs.
La idea es aportar el código latex, y no dar la interpretación de lo que la fórmula es o representa o implica, cuya simbología es la corriente, y se puede hallar en cualquier texto de divulgación o aquí en esta misma en las secciones
Apuntes, Chuletas, Artículos, Trabajos y Libros.

Este entrega esta dedicada a los Logaritmos, los números complejos,Areas volumen y constantes físicas

Propiedades de Logaritmos
$\log_a N =x \Rightarrow a^x=N$	\log_a N =x \Rightarrow a^x=N
$\log_a (N \cdot M) =\log_a (N)+\log_a (M)$	\log_a (N \cdot M) =\log_a (N)+\log_a (M)
$\log_a (\dfrac {N}{M}) =\log_a (N)-\log_a (M)$	\log_a (\dfrac {N}{M}) = \log_a (N)-\log_a (M)
$\log_a (N^r) =r\log_a (N)$	\log_a (N^r) =r\log_a (N)
$\log_a (N) =\dfrac {\log_b (N)}{\log_b (a)}=\dfrac {\ln (N)}{\ln (a)}$	\log_a (N) =\dfrac {\log_b (N)}{\log_b (a)} =\dfrac {\ln (N)}{\ln (a)}
$\log_{10} (N) =\log (N)$ $\log_e (N)=\ln (N)$	\log_{10} (N) =\log (N) \log_e (N)=\ln (N)

Números complejos
Representación	$z=a+bi=r(\cos \theta+ i \sin \theta)=re^{i\theta}$ $r^2=(a^2+b^2)$ $\theta=\arctan \dfrac ba$ $a=r\cos \theta$ $b=r \sin \theta$	z=a+bi=r(\cos \theta +i \sin \theta)=re^{i\theta} r^2=(a^2+b^2) \theta=\arctan \dfrac ba a=r\cos \theta b=r \sin \theta
Conjugado	$\bar z= a-bi=re^{-i\theta}$	\bar z= a-bi=re^{-i\theta}
Suma y resta	$(a+bi)\pm (c+di)=(a\pm c)+(b \pm d)$	(a+bi)\pm (c+di)=(a\pm c)+(b \pm d)
Multiplicacion	$(a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+cb)i$	(a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+cb)i
Division	$\dfrac {a+bi}{c+di}=\dfrac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=\left( \dfrac {ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac {(bc-ad)i}{c^2+d^2}\right )$	\dfrac {a+bi}{c+di}=\dfrac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=\left( \dfrac {ac+bd} {c^2+d^2}+\dfrac {(bc-ad)i}{c^2+d^2}\right )
Seno	$\sin x =\dfrac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$	\sin x =\dfrac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}
Coseno	$\cos x =\dfrac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}$	\cos x =\dfrac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}
Seno Hiperbólico	$\sinh x=\dfrac {e^x-e^{-x}}{2}$	\sinh x=\dfrac {e^x-e^{-x}}{2}
Coseno Hiperbólico	$\cosh x=\dfrac {e^x+e^{-x}}{2}$	\cosh x=\dfrac {e^x+e^{-x}}{2}
Formula de De Moivre	$(e^{ix})^n=e^{inx}=(\cos x+i \sin x)^n=\cos nx +i \sin nx$	(e^{ix})^n=e^{inx}=(\cos x+i \sin x)^n=\cos nx +i \sin nx
Potencia	$z^n=[r(\cos x+i \sin x)]^n=r^n(\cos nx+i \sin nx)$	z^n=[r(\cos x+i \sin x)]^n=r^n(\cos nx+i \sin nx)
Raiz	$z^{\frac 1n}=[r(\cos x+i \sin x)]^{\frac 1n}=r^{\frac 1n} \left[ \cos \left( \dfrac {x+2\pi k}{n}\right )+i \sin \left( \dfrac {x+2\pi k}{n}\right )\right ]$ $k\in\mathbb{N} \mapsto 0\leqslant k \leqslant n-1$	z^{\frac 1n}=[r(\cos x+i \sin x)]^{\frac 1n}= r^{\frac 1n} \left[ \cos \left( \dfrac {x+2\pi k}{n}\right )+i \sin \left( \dfrac {x+2\pi k}{n}\right )\right ] k\in\mathbb{N} \mapsto 0\leqslant k \leqslant n-1

Area de figuras geométricas
Triangulo	$A=\dfrac{b \cdot h}{2}$	A=\dfrac{b \cdot h}{2}
Trapezoide	$A=\dfrac{(a+b) \cdot h}{2}$	A=\dfrac{(a+b) \cdot h}{2}
Paralelogramo	$A={a \cdot h}=A=a \cdot b \sin \theta$	A={a \cdot h}=A=a \cdot b \sin \theta
Circulo	$A=\pi R^2=\dfrac{\pi D^2}{4}$	A=\pi R^2=\dfrac{\pi D^2}{4}
Sector circular	$A=\dfrac{R^2 \theta}{2}=<br /> \dfrac{\pi R^2 \theta}{360\°}$	A=\dfrac{ R^2 \theta}{2}= \dfrac{\pi R^2 \theta}{360\°}
Elipse	$A=\pi \cdot a \cdot b$	A=\pi \cdot a \cdot b
Area de un poligono inscripto en una circunferencia	$A=\dfrac{ nR^2 \sin \dfrac{2\pi}{n}}{2}$	A=\dfrac{ nR^2 \sin \dfrac{2\pi}{n}}{2}
Superficie de la esfera	$S=4\pi R^2=\pi D^2$	S=4\pi R^2=\pi D^2
Superficie de un cilindro	$S=2pi R \cdot h+2\pi R^2$	S=2pi R \cdot h+2\pi R^2
Superficie de un cono	$S=pi R \cdot \sqrt{h^2+R^2}+\pi R^2$	S=pi R \cdot \sqrt{h^2+R^2}+\pi R^2

Volumen de figuras geométricas
Cuña	$V=\dfrac{b \cdot h(2a+c)}{6}$	V=\dfrac{b \cdot h(2a+c)}{6}
Piramide	$V=\dfrac{a \cdot b \cdot h}{3}$	V=\dfrac{a \cdot b \cdot h}{3}
Paralilepipedo	$V={a \cdot h \cdot b}$	V={a \cdot h \cdot b}
Esfera	$V=\dfrac{4\pi R^3}{3}$	V=\dfrac{4\pi R^3}{3}
Cubo	$V={a^3}$	V={a^3}
Elipsoide	$V=\dfrac{4\pi \cdot a \cdot b \cdot c}{3}$	V=\dfrac{4\pi \cdot a \cdot b \cdot c}{3}
Volumen de un cilindro	$V=2\pi R \cdot h+2\pi R^2$	S=2'pi R \cdot h+2\pi R^2
Volumen de un cono	$V=\dfrac{\pi R^2h}{3}$	V=\dfrac{\pi R^2h}{3}

Constantes científicas
Constante de Faraday	$F=\notcien{9.648456}{4} \dfrac{C}{mol}$	F=\notcien{9.648456}{4} \dfrac{C}{mol}
Constante gravitacional	$G=\notcien{6.672}{-11} \dfrac{m^3}{s^2Kg}$	G=\notcien{6.672}{-11} \dfrac{m^3}{s^2Kg}
Numero de Avogadro	$N_a=\notcien{6.022045}{23} \dfrac{1}{mol}$	N_a=\notcien{6.022045}{23} \dfrac{1}{mol}
Constante Molar de gases ideales	$R=8.31441 \dfrac{J}{mol .\grad K}$	R=8.31441 \dfrac{J}{mol .\grad K}
Volumen molar gas ideal en CNPT	$V_m=\notcien{22.41383}{23} \dfrac{m^3}{mol}$	V_m=\notcien{22.41383}{23} \dfrac{m^3}{mol}
Radio de Bohr	$\alpha_o=\notcien{5.2917706}{11} m$	\alpha_o=\notcien{5.2917706}{11} m
Velocidad de la Luz en el vacio	$c=299792458 \dfrac{m}{s}$	c=299792458 \dfrac{m}{s}
Carga elemental	$e=\notcien{1.6021892}{-19} C$	e=\notcien{1.6021892}{-19} C
Aceleración gravitacional terrestre	$g=9.80665 \dfrac{m}{s^2}$	g=9.80665 \dfrac{m}{s^2}
Constante de Planck	$h=\notcien{6.626176}{-34} J.s$	h=\notcien{6.626176}{-34} J.s
Constante de Boltzmann	$k=\notcien{1.380662}{-23} \dfrac{J}{\grad K}$	k=\notcien{1.380662}{-23} \dfrac{J}{\grad K}
Constante de Stefan-Boltzmann	$\sigma= \notcien{5.67032}{-8} \dfrac{W}{m^2.\grad K^4}$	\sigma= \notcien{5.67032}{-8} \dfrac{W}{m^2.\grad K^4}
Masa del electrón en reposo	$M_e=\notcien{9.109534}{-31} Kg$	M_e=\notcien{9.109534}{-31} Kg
Masa del protón en reposo	$M_p=\notcien{1.6726485}{-27} Kg$	M_p=\notcien{1.6726485}{-27} Kg
Masa del neutrón en reposo	$M_n=\notcien{1.6749543}{-27} Kg$	M_n=\notcien{1.6749543}{-27} Kg
Unidad de masa atómica UMA	$u=\notcien{1.6605655}{-27} Kg$	u=\notcien{1.6605655}{-27} Kg
Permitividad del vacío	$\epsilon_0=\notcien{8.854187818}{-12} \dfrac{F}{m}$	\epsilon_0=\notcien{8.854187818} {-12} \dfrac{F}{m}
Permeabilidad del vacío	$\mu_0=\notcien{12.5663706144}{-7} \dfrac{H}{m}$	\mu_0=\notcien{12.5663706144}{-7} \dfrac{H}{m}

Polinomios
Propiedad Distributiva	$(a+d) \cdot c=ac+dc$	(a+d) \cdot c=ac+dc
Propiedad Distributiva	$(a+b) \cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd$	(a+b) \cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd
Resta de cuadrados	$(a+b) \cdot (a-b)=a^2-b^2$	(a+b) \cdot (a-b)=a^2-b^2
Binomio cuadrado perfecto	$(a\pm b) \cdot (a\pm b)=(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$	(a\pm b) \cdot (a\pm b)=(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2
Binomio cubo Perfecto	$(a\pm b) \cdot (a\pm b) \cdot (a\pm b)=(a\pm b)^2=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3$	(a\pm b) \cdot (a\pm b) \cdot (a\pm b)= (a\pm b)^2=a^3\pm 3a^2b +3ab^2\pm b^3
Trinomio al cuadrado	$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$	(a+b+c)^2=a^2+b^2+ c^2+2ab+2ac+2bc
identidades	$a^3 \pm b^3=(a \pm b) \cdot (a^2 \mp ab+b^2)$ a^3 \pm b^3=(a \pm b) \cdot (a^2 \mp ab+b^2) $a^4 - b^4=(a+b) \cdot (a-b) \cdot (a^2+b^2)$ a^4 - b^4=(a+b) \cdot (a-b) \cdot (a^2+b^2) $a^4 + b^4=(a^2+\sqrt{2}ab+b^2) \cdot (a^2-\sqrt{2}ab+b^2)$ a^4 + b^4=(a^2+\sqrt{2}ab+b^2) \cdot (a^2-\sqrt{2}ab+b^2) $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=-(b-c)(c-a)(a-b)$ a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)= -(b-c)(c-a)(a-b) $(b-c)^3+(c-a)^3+(a-b)^3=3(b-c)(c-a)(a-b)$ (b-c)^3+(c-a)^3+(a-b)^3= 3(b-c)(c-a)(a-b)

Aproximación por series
Serie de Taylor	$f_{(x)}=f_{(x_0)}+f'_{(x_0)}(x-x_0)+f''_{(x_0)}\dfrac {(x-x_0)^2}{2!}+\ldots+f^{(n)}_{(x_0)}\dfrac {(x-x_0)^n}{n!}$	f_{(x)}=f_{(x_0)}+f'_{(x_0)}(x-x_0) +f''_{(x_0)}\dfrac {(x-x_0)^2}{2!} +\ldots+f^{(n)}_{(x_0)} \dfrac {(x-x_0)^n}{n!}
Serie de Maclaurin	$f_{(x)}=f_{(0)}+f'_{(0)}(x)+f''_{(0)}\dfrac {(x)^2}{2!}+\ldots+f^{(n)}_{(0)}\dfrac {(x)^n}{n!}$	f_{(x)}=f_{(0)}+f'_{(0)}(x)+ f''_{(0)}\dfrac { (x)^2}{2!}+\ldots+ f^{(n)}_{(0)}\dfrac {(x)^n}{n!}
Aproximacion del exponencial	$e^x=1+x+\dfrac {x^2}{2!}+\dfrac {x^3}{3!}+\ldots=\dst\sum_{i=0}^{\infty} \dfrac {x^i}{i!}$	e^x=1+x+\dfrac {x^2}{2!}+ \dfrac { x^3}{3!}+\ldots= \dst\sum_{i=0}^{\infty} \dfrac {x^i}{i!}
Aproximacion del seno	$\sin x = x-\dfrac {x^3}{3!}+\dfrac {x^5}{5!}-\dfrac {x^7}{7!}+\ldots=\dst\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^{(i-1)}\dfrac {x^{(2i-1)}}{(2i-1)!}$	\sin x = x-\dfrac {x^3}{3!}+ \dfrac {x^5}{5!}-\dfrac {x^7}{7!}+\ldots=\dst\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^{(i-1)}\dfrac {x^{(2i-1)}}{(2i-1)!}
Aproximacion del coseno	$\cos x = 1-\dfrac {x^2}{2!}+\dfrac {x^4}{4!}-\dfrac {x^6}{6!}+\ldots=\dst\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^{(i-1)}\dfrac {x^{(2i-2)}}{(2i-2)!}$	\cos x = 1-\dfrac {x^2}{2!}+ \dfrac {x^4}{4!}-\dfrac {x^6}{6!}+\ldots=\dst\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^{(i-1)}\dfrac {x^{(2i-2)}}{(2i-2)!}
Aproximacion del logaritmo	$\ln (1+x) =x-\dfrac {x^2}{2}+\dfrac {x^3}{3}-\ldots=\dst\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^{(i-1)} \dfrac {x^i}{i}$	\ln (1+x) =x-\dfrac {x^2}{2}+ \dfrac {x^3}{3!}-\ldots= \dst\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^{(i-1)} \dfrac {x^i}{i}
Aproximacion del arcotangente	$\arctan x = x-\dfrac {x^3}{3}+\dfrac {x^5}{5}-\dfrac {x^7}{7}+\ldots=\dst\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^{(i-1)}\dfrac {x^{(2i-1)}}{(2i-1)}$	\arctan x = x-\dfrac {x^3}{3}+ \dfrac {x^5}{5}-\dfrac {x^7}{7}+ \ldots=\dst\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^{(i-1)}\dfrac {x^{(2i-1)}}{(2i-1)}

Cero de funciones
Solución cuadrática Ecuaciones polinomicas de segundo grado	$ax^2+bx+c=0$ $x=\dfrac {-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a \cdot c}}{ 2a}$	ax^2+bx+c=0 x=\dfrac {-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a \cdot c}}{ 2a}
Solución cúbica Ecuaciones polinomicas de tercer grado Metodo Cardano	$Ax^3+Bx^2+Cx+D=0$ $A,B,C,D \in \mathbb{R}$ valido $\forall A\neq 0$	Ax^3+Bx^2+Cx+D=0 A,B,C,D \in \mathbb{R} valido \forall A\neq 0
Paso #1 dividir por el valor $A$	$x^3+ax^2+bx+c=0$ $\left \{\begin {aligned} a&=\dfrac BA \\<br /> b&=\dfrac CA \\<br /> c&=\dfrac DA \end {aligned}\right.$	x^3+ax^2+bx+c=0 \left \{\begin {aligned} a&=\dfrac BA \\ b&=\dfrac CA \\ c&=\dfrac DA \end {aligned}\right.
Paso #2 cambio de variables	$z^3+pz+q=0$ $\left \{\begin {aligned} z&=x+ \dfrac a3\\<br /> p&=b-\dfrac {a^2}3 \\<br /> q&=\dfrac {2a^3}{27}-\dfrac{ab}3+c \end {aligned}\right.$	z^3+pz+q=0 \left \{\begin {aligned} z&=x+ \dfrac a3\\ p&=b-\dfrac {a^2}3 \\ q&=\dfrac {2a^3}{27}-\dfrac{ab}3+c \end {aligned}\right.
Paso #3 Transformar a cuadratica	$z^3=(u+v)^3=u^3+3uv(u+v)+v^3=u^3+v^3+3uvz$ $\left \{\begin {aligned} z&=u+v\\<br /> -p&=3uv \\<br /> -q&=u^3+v^3 \end {aligned}\right.$ entonces $z^2+qz-\dfrac{p^3}{27}=0$	z^3=(u+v)^3= u^3+3uv(u+v)+v^3=u^3+v^3+3uvz \left \{\begin {aligned} z&=u+v\\ -p&=3uv \\ -q&=u^3+v^3 \end {aligned}\right. entonces z^2+qz-\dfrac{p^3}{27}=0
Paso #4 Analisis del discriminante cuadratico $\Delta =q^2+\dfrac{4p^3}{27}$
$\Delta > 0$ 1 solución Real 2 soluciones complejas conjugadas	$\Delta = 0$ 1 solución Real simple 2 soluciones reales dobles	$\Delta < 0$ 3 soluciones reales las cuales[FONT=sans-serif] son la suma de dos complejos conjugados[/FONT]
$u=\sqrt[3]{\dfrac{-q+\sqrt{\Delta}}2}$ $v=\sqrt[3]{\dfrac{-q-\sqrt{\Delta}}2}$ $j=-\dfrac 12+ i\dfrac{\sqrt{3}}2=e^{i\frac{2\pi}3}$ $j^2=-\dfrac 12 -i\dfrac{\sqrt{3}}2=e^{i\frac{4\pi}3}$ $\left \{\begin {aligned}z_0&= u+v\\<br /> z_1&=ju+\overline{j}v\\<br /> z_2&=j^2u+\overline{j^2}v\end {aligned}\right.$	$\left \{\begin {aligned}<br /> z_0&=2\sqrt[3]{\dfrac{-q}{2}}=-2\sqrt{\dfrac{-p}{3}}=\dfrac{3q}{p}\\<br /> z_1&=-\sqrt[3]{\dfrac{-q}{2}}=\sqrt{\dfrac{-p}{3}}=\dfrac{-3q}{2p}\\<br /> z_2&=-\sqrt[3]{\dfrac{-q}{2}}=\sqrt{\dfrac{-p}{3}}=\dfrac{-3q}{2p}<br /> \end {aligned}\right.$	$u=\sqrt[3]{\dfrac{-q+i\sqrt{|\Delta|}}2}$ $j=-\dfrac 12+ i\dfrac{\sqrt{3}}2=<br /> e^{i\frac{2\pi}3}$ $j^2=-\dfrac 12 -i\dfrac{\sqrt{3}}2=<br /> e^{i\frac{4\pi}3}$ $\left \{\begin {aligned}<br /> z_0&=u+\overline{u}\\<br /> z_1&=ju+\overline{ju}\\<br /> z_2&=j^2u+\overline{j^2u}<br /> \end {aligned}\right.$
u=\sqrt[3]{\dfrac{-q+\sqrt{\Delta}}2} v=\sqrt[3]{\dfrac{-q-\sqrt{\Delta}}2} j=-\dfrac 12+ i\dfrac{\sqrt{3}}2=e^{i\frac{2\pi}3} j^2=-\dfrac 12 -i\dfrac{\sqrt{3}}2=e^{i\frac{4\pi}3} \left \{\begin {aligned}z_0&= u+v\\ z_1&=ju+\overline{j}v\\ z_2&=j^2u+\overline{j^2}v\end {aligned}\right.	\left \{\begin {aligned} z_0&=2\sqrt[3]{\dfrac{-q}{2}}=-2\sqrt{\dfrac{-p}{3}}=\dfrac{3q}{p}\\ z_1&=-\sqrt[3]{\dfrac{-q}{2}}=\sqrt{\dfrac{-p}{3}}=\dfrac{-3q}{2p}\\ z_2&=-\sqrt[3]{\dfrac{-q}{2}}=\sqrt{\dfrac{-p}{3}}=\dfrac{-3q}{2p} \end {aligned}\right.	u=\sqrt[3]{\dfrac{-q+i\sqrt{|\Delta|}}2} j=-\dfrac 12+ i\dfrac{\sqrt{3}}2=e^{i\frac{2\pi}3} j^2=-\dfrac 12 -i\dfrac{\sqrt{3}}2=e^{i\frac{4\pi}3} \left \{\begin {aligned}z_0&=u+\overline{u}\\ z_1&=ju+\overline{ju}\\ z_2&=j^2u+\overline{j^2u}\end {aligned}\right.
Paso #5 reconvertir de $z$ a $x$	$x_0=z_0-\dfrac a3$ $x_1=z_1-\dfrac a3$ $x_2=z_2-\dfrac a3$	x_0=z_0-\dfrac a3 x_1=z_1-\dfrac a3 x_2=z_2-\dfrac a3

Si halla alguna errata o desea colaborar indicando alguna omisión les agradeceré que las comenten y las corregiré a la brevedad.

[Richard R Richard]

Ups ese soy yo, que no había iniciado sesión jajaja.

he visto el metodo de Cardano , para incorporar , en wikipedia esta bien descripto, de hecho lo empece a transcribir pero, note que si no agrego alguna breve descripción sobre lo que son los discriminantes, queda un manojo de formulas casi inentendible. Quiza deba tomarme un rato para analizar como dar primero esas definiciones, en el mismo formato para cerrar con la formula y el método, pues creo que no es la misma secuencia de pasos si las raices son reales o complejas , o sin mezcla saludos.

[Weip]

he visto el metodo de Cardano , para incorporar , en wikipedia esta bien descripto, de hecho lo empece a transcribir pero, note que si no agrego alguna breve descripción sobre lo que son los discriminantes, queda un manojo de formulas casi inentendible. Quiza deba tomarme un rato para analizar como dar primero esas definiciones, en el mismo formato para cerrar con la formula y el método, pues creo que no es la misma secuencia de pasos si las raices son reales o complejas , o sin mezcla saludos.

Es verdad que en la wikipedia lo pone de forma muy caótica. Bueno es igual, lo decía porque en ese apartado solo había una fórmula y para que no estuviera solita.

[Richard R Richard]

Esta claro el método?