Momentos de inercia

[Richard R Richard]

Momento de Inercia

Cuando nos disponemos a resolver un problema de dinámica o cinemática rotacional, todo parece sencillo hasta que queremos saber cual es el momento de inercia de la figurita del problema con respecto al eje mas complicado que podía pedir el enunciado...

Harto de buscar por internet , me propuse a modo de ayuda memoria, chuleta o apunte, una tabla donde encontrarlos, sin salir de LWDF. Espero les sirva tanto como a mi.

Momento de inercia

El momento de inercia es una magnitud escalar permite medir cuanto se resiste un cuerpo ante un intento de giro, sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro. Permite conocer como actuará de la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas que va ser puesto en rotación, respecto a un eje de giro.

$I=\dst\int_Mr^2\dd m$

Si la densidad es constante en todo el sólido rígido $\rho=\dfrac{M}{V}=\dfrac{\dd M}{\dd V}$

entonces podemos escribir

$I=\rho\dst\int_Vr^2\dd V$

para una definición complementaria pueden consultar http://forum.lawebdefisica.com/blog_callback.php?b=508

Los momentos de inercia de inercia de distribuciones de masa en forma geométrica más utilizados son

Figura	Centro de masa /Extremo	Eje 1 =X	Eje 2= Y	Eje 3=Z
Masa puntual	EXT	$I=m r_x^2$	$I=m r_y^2$	$I=m r_z^2$
Varilla	CM	$I=\dfrac{m L^2}{12}$	$I=\dfrac{m L^2}{12}$	0
Varilla	EXT	$I=\dfrac{m L^2}{3}$	$I=\dfrac{m L^2}{3}$	0
Disco	CM	$I=\dfrac{m R^2}{4}$	$I=\dfrac{m R^2}{4}$	$I=\dfrac{m R^2}{2}$
Disco hueco	CM	$I=\dfrac{m (R_i^2+R_e^2)}{4}$	$I=\dfrac{m (R_i^2+R_e^2)}{4}$	$I=\dfrac{m (R_i^2+R_e^2)}{2}$
Anillo delgado	CM	$I=\dfrac{m R^2}{2}$	$I=\dfrac{m R^2}{2}$	$I=m R^2$
Cilindro macizo	CM	$I=\dfrac{m R^2}{4}+\dfrac{m L^2}{12}$	$I=\dfrac{m R^2}{4}+\dfrac{m L^2}{12}$	$I=\dfrac{m R^2}{2}$
Cilindro macizo	EXT	$I=\dfrac{m R^2}{4}+\dfrac{m L^2}{3}$	$I=\dfrac{m R^2}{4}+\dfrac{m L^2}{3}$	$I=\dfrac{m R^2}{2}$
Cilindro hueco	CM	$I=\dfrac{m (R_i^2+R_e^2)}{4}+\dfrac{m L^2}{12}$	$I=\dfrac{m (R_i^2+R_e^2)}{4}+\dfrac{m L^2}{12}$	$I=\dfrac{m (R_i^2+R_e^2)}{2}$
Cilindro hueco	EXT	$I=\dfrac{m (R_i^2+R_e^2)}{4}+\dfrac{m L^2}{3}$	$I=\dfrac{m (R_i^2+R_e^2)}{4}+\dfrac{m L^2}{3}$	$I=\dfrac{m (R_i^2+R_e^2)}{2}$
Cilindro delgado	CM	$I=\dfrac{m R^2}{2}+\dfrac{m L^2}{12}$	$I=\dfrac{m R^2}{2}+\dfrac{m L^2}{12}$	$I=m R^2$
Cilindro delgado	EXT	$I=\dfrac{m R^2}{2}+\dfrac{m L^2}{3}$	$I=\dfrac{m R^2}{2}+\dfrac{m L^2}{3}$	$I=m R^2$
Cuadrado	CM	$I=\dfrac{m a^2}{12}$	$I=\dfrac{m a^2}{12}$	$I=\dfrac{m a^2}{6}$
Rectangulo Lx=a;Ly=b	CM	$I=\dfrac{m b^2}{12}$	$I=\dfrac{m a^2}{12}$	$I=\dfrac{m (a^2+b^2)}{12}$
Varilla cuadrada	CM	$I=\dfrac{m a^2}{12}+\dfrac{m L^2}{12}$	$I=\dfrac{m a^2}{12}+\dfrac{m L^2}{12}$	$I=\dfrac{m a^2}{6}$
Varilla cuadrada	EXT	$I=\dfrac{m a^2}{12}+\dfrac{m L^2}{3}$	$I=\dfrac{m a^2}{12}+\dfrac{m L^2}{3}$	$I=\dfrac{m a^2}{6}$
Varilla Cuadrada hueca	CM	$I=\dfrac{m (a_e^2+L_i^2)}{12}+\dfrac{m L^2}{12}$	$I=\dfrac{m (a_e^2+L_i^2)}{12}+\dfrac{m L^2}{12}$	$I=\dfrac{m (a_e^2+a_i^2)}{12}$
Varilla cuadrada hueca	EXT	$I=\dfrac{m (a_e^2+a_i^2)}{12}+\dfrac{m L^2}{3}$	$I=\dfrac{m (a_e^2+a_i^2)}{12}+\dfrac{m L^2}{3}$	$I=\dfrac{m (a_e^2+a_i^2)}{12}$
Varilla cuadrada delgada	CM	$I=\dfrac{m a^2}{6}+\dfrac{m L^2}{12}$	$I=\dfrac{m a^2}{6}+\dfrac{m L^2}{12}$	$I=\dfrac{m a^2}{6}+\dfrac{m L^2}{12}$
Varilla cuadrada delgada	EXT	$I=\dfrac{m a^2}{6}+\dfrac{m L^2}{3}$	$I=\dfrac{m a^2}{6}+\dfrac{m L^2}{3}$	$I=\dfrac{m a^2}{6}+\dfrac{m L^2}{12}$
Triangulo $\perp h$	CM	$I=\dfrac{m h^2}{18}$
Triangulo $\perp h$	EXT	$I=\dfrac{m h^2}{6}$
Esfera	CM	$I=\dfrac{2m R^2}{5}$	$I=\dfrac{2m R^2}{5}$	$I=\dfrac{2m R^2}{5}$
Esfera hueca	CM	$I=\dfrac{2m R^2}{3}$	$I=\dfrac{2m R^2}{3}$	$I=\dfrac{2m R^2}{3}$
Cono	CM	$I=\dfrac{3m H^2}{80}+\dfrac{3m R^2}{10}$	$I=\dfrac{3m H^2}{80}+\dfrac{3m R^2}{10}$	$I=\dfrac{3m R^2}{10}$
Cono	EXT	$I=\dfrac{3m H^2}{80}$	$I=\dfrac{3m H^2}{80}$	$I=\dfrac{3m R^2}{10}$

Recordando el teorema de Steiner

Si se desea hallar el momento de inercia de una distribución por un eje paralelo que no pasa ni por el centro de masa ni por un de los extremos, se puede recurrir al teorema de Steiner , que nos dará el momento de inercia por la adición de un termino adicional proporcional a la masa del objeto y a la distancia entre ejes de rotación al cuadrado

$$I_{eje}=I_{CM}+mR^2$$

Producto de inercia

El tensor de inercia de un cuerpo rígido, es un tensor simétrico de $\mathbb{R}^{3x3}$ con 6 componentes independientes, los elementos de la diagonal son los momentos de inercia polares con respecto a cada eje coordenado ,para un sistema de referencia cartesiano (x,y,z)

$I_{xx}=\dst\iiint_V\rho_{(x,y,z)} (y^2 +z^2)\:\dd x \:\dd y \:\dd z$


$I_{yy}=\dst\iiint_V\rho_{(x,y,z)}(x^2 +z^2)\dd x\: \dd y \:\dd z$


$I_{zz}=\dst\iiint_V\rho_{(x,y,z)}(x^2 +y^2)\dd x \:\dd y \:\dd z$

y los 3 restantes son los productos de inercia cuya definición analítica es

$I_{xy}=I_{yx}=-\dst\iiint_V\rho_{(x,y,z)}\: x \:y \:\dd x \:\dd y \:\dd z$


$I_{yz}=I_{zy}=-\dst\iiint_V\rho_{(x,y,z)}\: y \: z \:\dd x\: \dd y \:\dd z$


$I_{zx}=I_{xz}=-\dst\iiint_V\rho_{(x,y,z)}\: z \: x \:\dd x \:\dd y \:\dd z$

Por lo que el tensor de inercia queda formado de la siguiente manera

$\hat I=\begin{pmatrix} I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end {pmatrix}$

Rotación de los ejes principales

Para un par de ejes principales $(X_1,Y_1)$ buscar la solución para un par de ejes arbitrarios $(X_2,Y_2)$definidos por un ángulo $\theta$ arbitrario entre los ejes $X_1$ y $X_2$ e $Y_1$ y $Y_2$ los momentos de inercia con respecto a los nuevos ejes serán.

$I_{X_2}=\dfrac{I_{X_1}+I_{Y_1}}{2}+\dfrac{I_{X_1}-I_{Y_1}}{2}\cos (2\theta)-I_{XY_1}\sin (2\theta)$


$I_{Y_2}=\dfrac{I_{X_1}+I_{Y_1}}{2}-\dfrac{I_{X_1}-I_{Y_1}}{2}\cos (2\theta)+I_{XY_1}\sin (2\theta)$


$I_{XY_2}=I_{XY_1}\cos (2\theta)+\dfrac{I_{X_1}-I_{Y_1}}{2}\sin (2\theta)$